- •§ 1. Уравнение неразрывности
- •§ 2. Уравнения движения и равновесия
- •Уравнением моментов
- •§ 3. Уравнения состояния (математические модели)
- •§ 4. Уравнения состояния гидромеханики
- •6. Модель
- •§5.Основные уравнения теории фильтрации
- •§ 5.1 Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации.
- •§ 6. Мгновенные уравнения состояния и критерии прочности
- •§ 7. Временные уравнения состояния и критерии длительной прочности
- •§ 8. Общая система уравнений механики деформируемого твердого тела
6. Модель
неньютоновских многокомпонентных смесей вязкопластичных жидкостей при любых режимах течения.
Таким образом, общая задача гидромеханики в определении компонент vi (i = 1, 2, 3) вектора скорости EMBED Equation.3 , компонент симметричного девиатора напряжений sij =sji (i, j=1, 2, 3), давления р и плотности ρ жидкости в любой точке области.
В общем случае эти одиннадцать искомых функций должны в ламинарном режиме течения удовлетворять следующей системе дифференциальных уравнений:
движения
EMBED Equation.3 (i=1, 2, 3); (2.21)
неразрывности движения или сохранения массы
EMBED Equation (2.22)
и механического состояния
s = f(p); (2.23)
EMBED Equation. (2.24)
Подставляя в уравнения (2.21) соотношения (2.24)можно получить уравнения Навье — Стокса, Генки — Ильюшина и др.
При турбулентных течениях жидкостей и газов, согласно сказанному выше, система уравнений (2.21) — (2.24) сохраняет свой вид, но под величинами vi, EMBED Equation.3 , р необходимо понимать усредненные по времени значения EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , где напряжения Рейнольдса EMBED Equation.3 связаны с компонентами средних скоростей деформаций EMBED Equation.3 , например, уравнением Прандтля (2.20).
Для удобства выпишем обозначения основных величин:
EMBED Equa - компоненты девиаторов напряжений и скоростей деформаций соответственно;
EMBED Equation.3 - символ Кронекера;
EMBED Equation.3 — соотношения Коши; (2.25)
EMBED Equation.3 — скорость деформации объема;
EMBED Equation.3 — проекции объемных сил и ускорении;
EMBED Equation.3 - (2.26)
интенсивность касательных напряжении;
EMBED Equation.3 - (2.27)
интенсивность скорости деформации сдвига при ξ=0.
Единственность и однозначность решения системы дифференциальных уравнений (2.21) - (2.24) возможны лишь при выполнении граничных условий:
EMBED Equation.3 — на поверхности контакта жидкость - твердое тело и (или) p=p0 - на свободной поверхности, где EMBED Equation.3 , р0 - заданные величины скорости твердого тела и внешнее давление.
Общего аналитического решения системы уравнений (2.21) — (2.24) не существует, и, как правило, в этом нет нужды, если речь идет о прикладных задачах. Обычно при решении конкретной инженерной задачи вводят ряд геометрических и физических допущений, не умаляющих, однако, основного характерного признака движения. Здесь важно свести уравнения и граничные условия к простейшему виду так, чтобы сохранить лишь главную цель задачи. Если все же граничная задача оказывается сложной, неподдающейся точному аналитическому решению, то применяют какой-либо приближенный метод решения или ставят эксперимент, используя для этого основные положения теории подобия.
В любом случае теоретической основой решения любой задачи гидромеханики является система уравнений (2.21) — (2.24) в том ином упрощенном виде.