Глава I. Дифференцируемость и производная

§1. Скорость

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки за промежуток времени от до . Пусть в момент времени точка занимает на числовой прямой положение , а в момент времени - положение . Величину пройденного пути за промежуток времени обозначим . Очевидно, .

Определение 1. Движение называется равномерным, если пройденные пути пропорциональны затраченному времени, т.е.

(1)

где - коэффициент пропорциональности, называемый скоростью. Из (1) следует, что

.   (2)

Теорема 1. Движение, описываемое функцией , равномерно и прямолинейно тогда и только тогда, когда можно задать формулой , где .

Доказательство.

1. Пусть движение, описываемое функцией равномерно и прямолинейно. Рассмотрим промежуток времени от до и обозначим , . Вычислим скорость по формуле (2):

Тогда и, следовательно:

.

Введем обозначения: , . Получим: , где .

2. Пусть закон движения задан формулой , где . Тогда . Следовательно:

,

т.е. пройденные пути пропорциональны затраченному времени, а это и означает, что движение является равномерным.

Рассмотрим теперь неравномерное движение. Известен первый закон Ньютона: «Всякое тело сохраняет свое механическое состояние до тех пор, пока какие-либо внешние силы не выведут его из этого состояния».

Рассмотрим два случая для действующей силы .

. Движение тела будет равномерным, а значит по теореме 1 , где , называемая мгновенной скоростью.

2. Пусть, начиная с момента времени , . Тогда движение тела будет слагаться из двух составляющих:

а) указанного равномерного движения,

б) того движения, которое вызвала сила , если бы скорость в момент времени равнялась 0 (т.е. если бы движение рассматривалось именно с этого момента времени).

Как показал Галилей, если бы равнодействующая сила, приложенная в момент времени , была бы постоянной, начиная с этого момента, и была бы направлена по этой же прямой, то пройденный путь был бы пропорционален этой равнодействующей и квадрату времени, т.е.

,

где и , , – ускорение.

Очевидно, – бесконечно малая в точке более высокого порядка, чем . Таким образом, закон прямолинейного движения описывается функцией

, (3)

где , . Из формулы (3) определим:

(4)

Величина, описываемая формулой (4) – есть средняя скорость движения за промежуток времени от до . Переходя к пределу в (4) при , получим:

(5)

Формула (5) не есть определение мгновенной скорости! Она является следствием того, что – «почти линейна».

Замечание. Часто в учебниках по физике формулу (5) принимают за определение мгновенной скорости. Однако, понятие скорости возникло в XVI-XVII вв. задолго до появления понятия производной.

§2. Понятие дифференцируемой функции и производной

В предыдущем параграфе мы рассмотрели задачу о прямолинейном движении точки и получили формулу для вычисления мгновенной скорости движения. Эта формула связана с отношением , где - закон движения, , - время.

Рассмотрим основные понятия теории дифференцирования функций одной действительной переменной и установим связь между этими понятиями и задачей о скорости, решенной нами в § 1.

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если выполняются условия:

1) - неизолированная точка ,

2) приращение функции в окрестности точки представимо в виде

, (1)

где , при .

Определение 2. Пусть - неизолированная точка . Если существует

то значение этого предела называют производной функции в точке и обозначают . Таким образом,

(2)

Замечание. Т.к. - неизолированная точка и , то - неизолированная точка . Можно переопределить значение в точке по непрерывности, положив

Определение 3. Пусть функция имеет производную в каждой точке или некоторого подмножества . Производной функции называется функция , где и для любого .

Рассмотрим примеры.

1) . Покажем, что функция дифференцируема в любой точке множества . Оценим приращение функции:

,

здесь и . Таким образом, в любой точке приращение функции представимо в виде (1).

2) . Покажем, что функция дифференцируема в любой точке множества . Оценим приращение функции:

,

здесь и . Таким образом, в любой точке приращение функции представимо в виде (1).

3) . Покажем, что функция дифференцируема в любой точке множества . Оценим приращение функции:

=

,

здесь и при . Таким образом, в любой точке приращение функции представимо в виде (1).

4) . Найдем , где .

Таким образом, .

Т.к. мгновенная скорость при неравномерном прямолинейном перемещении вычисляется по формуле

где - путь, то производная есть мгновенная скорость прямолинейного движения, описываемого функцией , в момент времени .

Рассмотрим основные свойства дифференцируемых функций.

Теорема 1. Если дифференцируема в точке , то непрерывна в точке .

Доказательство.

Т.к. дифференцируема в точке , то , где и при . Но тогда:

при ,

т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в точке , а значит функция непрерывна в точке .

Обратная теорема неверна! Например функция непрерывна в точке , но не является дифференцируемой в этой точке.

Теорема 2. 1) Если дифференцируема в точке , то функция имеет производную в точке .

2) Если функция имеет производную в точке , то дифференцируема в точке .

Доказательство.

1) Т.к. дифференцируема в точке , то , где и при . Пусть . Тогда:

Переходя к пределу при , получим:

Таким образом, .

2) Пусть . Т.е. , где - бесконечно малая в точке . . Доопределим в точке по непрерывности, т.е. положим . Тогда:

,

где и при . Таким образом, функция дифференцируема в точке .

Вернемся к примерам:

из 2) следует, что

из 3) следует, что

из 4) следует, что дифференцируема в любой точке .

Контрпример к теореме 1:

Рассмотрим функцию . И пусть . Покажем, что не является дифференцируемой в точке . Действительно:

Т.к. односторонние пределы функции в точке не совпадают друг с другом, значит, предел функции в точке не существует:

Т.е. , и, следовательно, по теореме 2 функция не дифференцируема в точке .

Дифференцируемость – это локальное свойство функции (также, как непрерывность).