6.2. Понятие симметрии

Симметрия как философская категория означает про­цесс существования и становления тождественных момен­тов в определенных условиях и определенных отношени­ях между различными и противоположными состояниями явлений мира. Это означает, что, изучая симметрию каких-либо систем, необходимо рассматривать их поведение при различных преобразованиях. То есть из всей совокупнос-

224

ти преобразований выделяются такие, которые оставляют неизменными, инвариантными некоторые функции, соответ­ствующие рассматриваемым системам. Самым емким, удоб­ным и простым языком для выражения симметрий ока­зался математический язык. Математическая теория, рас­сматривающая такие преобразования или совокупности преобразований, называется математиками теорией групп. Корни идеи теории групп восходят к работам великих ма­тематиков П. Руффини (1765-1822), Н. Абеля (1802-1829) и Эвариста Галуа (1811-1832). Одной из центральных за­дач классической алгебры того времени была задача о на­хождении корней алгебраического уравнения n-степени по известным коэффициентам, входящим в это уравнение. Руффини, а впоследствии Абель и Галуа доказали неразре­шимость в радикалах общего алгебраического уравнения пятой и более степени. Так что проблема общего изучения закона образования корней из известных коэффициентов не была решена, несмотря на многочисленные усилия матема­тиков. Результат был получен Эваристом Галуа лишь на основе введения абстрактных понятий более высокой сте­пени общности, на основе создания совершенно новой ал­гебраической теории, развившейся впоследствии в теорию групп. Интерес к теории групп со стороны Феликса Клей­на передался норвежскому математику М. Ли, который и явился создателем математического аппарата теории групп (групп Ли) и их инвариантов, ставшего важнейшим инструментом современной теоретической физики.

6.3. Калибровочные симметрии

В 2.4 уже говорилось о том, что при создании общей те­ории относительности Эйнштейн обнаружил, что попытки включения тяготения в специальную теорию относительно­сти (СТО) наталкиваются на серьезные трудности, связанные с тем, что в этом случае не работает глобальная лоренц-ин-вариантность. Поставив во главу угла задачу распростране­ния принципа инвариантности применительно к любым системам отсчета, в том числе и к неинерциальным, Эйн­штейн приходит к выводу, что лоренц-инвариантность не является более глобальным свойством, но в то же время продолжает играть центральную роль в теории в качестве локальной инвариантности. А это означает, что, если гали-

8. Зак 671 225

леево пространство максимально однородно, то в общей теории относительности такого рода однородность суще­ствует локально, в бесконечно малом, то есть здесь долж­на существовать возможность свободного изменения мас­штаба от одной точки пространства к другой, что означает кривизну траектории, отклонение ее от прямой линии. Ус­ловие выполнения инвариантности физических законов от­носительно локальных преобразований требует введения гравитационного поля, роль которого состоит в компенсации эффектов, связанных с этим изменением масштаба или, как говорят, вызванных калибровкой от точки к точке.

Термин «калибровка» вошел в физику из жаргона же­лезнодорожников, употребляемый в значении перехода с узкой колеи на широкую. Под калибровкой, по аналогии с железнодорожной терминологией, первоначально понима­лось именно изменение уровня или масштаба. В СТО за­коны физики не изменяются относительно переноса (или сдвига) при калибровке расстояния. То есть траектории движения остаются прямолинейными, пространственный сдвиг оказывается одинаковым у всех точек пространства. Иначе говоря, здесь работают глобальные калибровочные преобразования. В общей теории относительности инвари­антность физических законов достигается только относи­тельно локальных калибровочных преобразований. При этом в общей теории относительности обнаруживается со­вершенно новый подход к природе физических взаимодей­ствий, что в существенной степени расширило смысл самого понятия «калибровочное преобразование», возведя его в принцип, который лежит в основе всего фундамента совре­менной физики. Калибровочный принцип называют дина­мическим нововведением в общей теории относительнос­ти. Нововведением является тот факт, что гравитационное поле здесь не постулируется, а выводится как результат инвариантности лагранжиана теории относительно группы локальных калибровочных преобразований. То есть требо­вание инвариантности порождает определенный конкрет­ный вид взаимодействия. А это уже принципиально новый подход в физике. Благодаря ему современная физика ото­шла от исторической традиции, согласно которой заранее давалась форма взаимодействий, установленная эксперимен­тально и теоретически описанная некоторыми умными физиками. Форма взаимодействия более не постулируется,

226

а выводится как результат инвариантности относительно групп определенных локальных преобразований, как спо­собы, которыми в природе должно компенсироваться ло­кальное калибровочное преобразование. И неважно, какие виды симметрий (калибровочные в прямом смысле или другие) обусловливают эти взаимодействия. В каждом слу­чае теории, в которых работает этот принцип, называют ка­либровочными. Иными словами, калибровочная инвариан­тность позволяет ответить на вопрос: «Почему и зачем в природе существуют такого рода взаимодействия?»

Для обеспечения инвариантности относительно локаль­ных калибровочных преобразований в различных про­странствах (в каждом конкретном случае) производят за­мену обычных производных ковариантными (впервые вве­дены в общей теории относительности) путем добавления таких слагаемых, которые позволяют построить лагранжи­ан, инвариантный одновременно или по отдельности отно­сительно калибровочных преобразований во всех соответ­ствующих внутренних пространствах частиц. Калибровоч­ный принцип оказался важным инструментом теоре­тической физики, это основной принцип, на котором стро­ится единая теория всех взаимодействий в физике. Но представляется, что этот принцип выходит далеко за рамки собственно физики и может стать мощным методологичес­ким регулятивом при решении ряда проблем социально­го и экономического характера. Очевидно, что такие прин­ципы, как социальная справедливость, равенство, устойчи­вый уровень жизни населения и др. и могут быть по­ставлены в соответствии с категорией симметрии. А это го­ворит о том, что путь к достижению этих идеалов может стать в том числе и математическим. Лагранжев форма­лизм, использованный в экономике, мог бы стать мощней­шим фактором в регулировании денежной системы, кон­троле за монопольными отраслями производства и др. Важно и то, что лагранжев подход, ставящий во главу угла обеспечение конкретных видов симметрии, с изменением ситуации позволяет строить лагранжиан путем замены обычных производных ковариантными производными, от­личающимися от первоначальных. Это указывает на мо­бильность и перспективность калибровочного подхода.

8* 227