10.2.2. Частинні похідні вищих порядків

Частинні похідні и називають частинними похідними першого порядку. Їх можна розглядати як функції від . Ці функції можуть мати частинні похідні, які називаються частинними похідними другого порядку. Вони визначаються і позначаються таким чином:

;

;

;

.

Аналогічно визначаються частинні похідні 3-го, 4-го і т. д. порядків.

Так ,

Частинна похідна другого або більш високого порядку, узята по різних змінних, називається змішаною частинною похідною . Такими є, наприклад

Приклад 2. Знайти частинні похідні другого порядку функції

 Оскільки і , то

. Виявилося, що . 

Цей результат не випадковий. Має місце теорема, яку наведемо без доведення.

Теорема 10.2.1 (Шварца). Якщо частинні похідні вищого порядку неперервні, то змішані похідні одного порядку, відмінні лише порядком диференціювання, рівні між собою. Зокрема, для маємо:

.

10.2.3. Диференційовність і повний диференціал функції.

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Складемо повний приріст функції в точці :

Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна представити у вигляді

, (2.1)

де і при

Сума перших двох доданків в рівності (2.1) представляє собою головну частину приросту функції.

Головна частина приросту функції , лінійна відносно і називається повним диференціалом цієї функції і позначається символом :

(2.2)

Вирази и називають частинними диференціалами. Для незалежних змінних і вважають і . Тому рівність (2.2) можна переписати у вигляді

(2.3)

Теорема 10.2.2 (необхідна умова диференційовності функції). Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці, має в ній частинні похідні і причому

Оскільки функція диференційовна в точці , то має місце рівність (2.1). Звідси випливає, що . Це означає, що функція неперервна в точці . Поклавши в рівності (2.1), отримаємо: . Звідси знаходимо . Переходячи до межі при , отримаємо , тобто . Таким чином, в точці існує частинна похідна . Аналогічно доводиться, що в точці існує частинна похідна

Рівність (2.1) можна записати у вигляді

(2.4)

де при

Відзначимо, що зворотне твердження хибне, тобто з неперервності функції, або існування частинних похідних не слідує диференційовність функції. Так, неперервна функція не диференційовна в точці

Як наслідок теореми одержуємо формулу для обчислення повного диференціала. Формула (2.3) приймає вигляд:

або , (2.5)

де − частинні диференціали функції .

Теорема 10.2.3 (достатня умова диференційовності функції). Якщо функція має неперервні частинні похідні і в точці , то вона диференційовна в цій точці і її повний диференціал виражається формулою (2.5).

Приймемо теорему без доведення. Відзначимо, що для функції однієї змінної існування похідної в точці є необхідною і достатньою умовою її диференційовності в цій точці.

Щоб функція була диференційовна в точці, необхідно, щоб вона мала в ній частинні похідні, і достатньо, щоб вона мала в точці неперервні частинні похідні.

Арифметичні властивості і правила знаходження диференціалів функції однієї змінної зберігаються і для диференціалів функції двох (і більшого числа) змінних.