Завдання для самостійної роботи

Дослідити і, якщо розв’язок існує, розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса та Гаусса-Зейделя. Якщо до заданої системи пропонований метод не можна застосувати, змінити деякі коефіцієнти.

Варіанти завдання надані у вигляді .

№ варіанту
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Лабораторна рОбота №4 Тема: Нелінійні рівняння Теоретичні відомості

Проблема знаходження кореня нелінійних рівнянь виду:

(1)

зустрічається в різних областях наукових досліджень (тут – деяка безперервна функція). Нелінійні рівняння можна розділити на два класи – алгебраїчні та трансцендентні. Алгебраїчними рівняннями називаються рівняння, які складаються тільки з алгебраїчних функцій (цілих, раціональних, ірраціональних). Зокрема, багаточлен є цілою алгебраїчною функцією. Рівняння, що містять інші функції (тригонометричні, показові, логарифмічні та інші), називаються трансцендентними.

Методи розв’язання нелінійних рівнянь діляться на прямі та ітераційні. Прямі методи дозволяють записати корінь у вигляді деякого кінцевого співвідношення (формули). Проте на практиці трапляються рівняння, які не вдається розв’язати прямими методами. Для їх розв’язання використовуються ітераційні методи, тобто методи послідовних наближень. Алгоритм знаходження кореня нелінійного рівняння за допомогою ітераційного методу складається з двох етапів: а) пошуку наближеного значення кореня (початкового наближення); б) уточнення наближеного значення до деякої заданої міри точності. У деяких методах знаходять не початкове наближення, а деякий відрізок, який містить корінь.

Початкове наближення може бути знайдено різними способами: з фізичних міркувань, з рішення аналогічної задачі при інших початкових даних, за допомогою графічних методів. Якщо такі апріорні оцінки початкового наближення провести не вдається, то знаходять дві близько розташовані точки і , в яких безперервна функція приймає значення різних знаків, тобто < О. В цьому випадку між точками и є принаймні одна точка, в якій . Як початкове наближення можна прийняти середину відрізку [ , ], тобто .

Ітераційний процес полягає в послідовному уточненні початкового наближення . Кожен такий крок називається ітерацією. В результаті ітерацій знаходиться послідовність наближених значень кореня . Якщо ці значення із зростанням прагнуть до дійсного значення кореня:

то говорять, що ітераційний процес збігається.

Найбільш поширеними методами уточнення коріння є: метод графічного розв'язку, метод поділу навпіл, метод хорд, метод дотичних (Ньютона), комбінований метод (хорд і дотичних), метод ітерацій.

Всі можливі випадки при уточненні кореня можна класифікувати за допомогою таблиці 1.

Таблиця 1

№ вар.	Схема					Нульове набли-ження
						метод хорд	метод дотичних
I		‑	+	+	+
II		+	‑	‑	‑
III		+	‑	‑	+
IV		‑	+	+	‑

Постановка задачі. Задано рівняння , де ‑ неперервна функція, що має в інтервалі неперервні і знакосталі похідні першого і другого порядків. Корінь ізольований і відділений на , тобто виконується умова . Необхідно уточнити корінь до заданого ступеня точності .

Розглянемо деякі з перелічених вище методів.