- •Поліном Лагранжа
- •Завдання для самостійної роботи
- •Тема: Апроксимація функцій Теоретичні відомості Емпіричні формули
- •Визначення параметрів емпіричної залежності
- •Метод найменших квадратів
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Розв’язок
- •Метод Сімпсона
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна рОбота №3
- •Теоретичні відомості Чисельне розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Метод Гаусса
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна рОбота №4 Тема: Нелінійні рівняння Теоретичні відомості
- •Метод хорд
- •Метод Ньютона (метод дотичних)
- •Розв’язок
- •Комбінований метод хорд і дотичних
- •Метод ітерацій або метод послідовних наближень
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна рОбота №5 Тема: Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь Теоретичні відомості
- •Метод Ейлера
- •Модифікації методу Ейлера
- •Метод Рунге-Кутта
- •Завдання для самостійної роботи
- •Список літератури
Метод Ейлера
Нехай задано звичайне диференційне рівняння першого порядку:
. |
(4) |
Необхідно знайти розв’язок цього рівняння , який задовольняє початковій умові:
. |
(5) |
Така задача називається задачею Коші.
Чисельний розв’язок задачі Коші полягає в знаходженні значень у точках ; ; …; відрізка , де h–крок інтегрування; ; .
Розглянемо рівняння (4) в околі вузлів ( ) та замінимо у лівій частині похідну правою різницею ( , , ). При цьому значення функції у вузлах замінимо значеннями сіткової функції :
. |
(6) |
Отримана апроксимація диференційного рівняння (4) має перший порядок, так як заміняючи (4) на (6) допускається похибка .
Припустимо, що вузли рівновіддалені, тобто ( ). Тоді із рівності (6) отримаємо:
, . |
(7) |
Зауважимо, що з рівняння (4) випливає наступне:
. |
Тому (7) представляє собою наближене знаходження значення функції у точці за допомогою розкладання у ряд Тейлора. Іншими словами, приріст функції припускається рівним її диференціалу.
Припускаючи , за допомогою співвідношення (7), знаходимо значення сіткової функції при :
. |
Необхідне тут значення задано початковою умовою (5).
Аналогічно можна знайти значення сіткової функції у інших вузлах:
. |
Цей алгоритм називається методом Ейлера. Різницева схема цього методу представлена співвідношенням (7). Вона має вид рекурентних формул, за допомогою яких значення сіткової функції у будь-якому вузлі обчислюється по її значенню у попередньому вузлі . У зв’язку з цим метод Ейлера відноситься до однокрокових методів.
Метод Ейлера найпростіший і порівняно грубіший чисельний метод інтегрування.
Приклад.
Розв’язати диференційне рівняння в інтервалі , .
Розв'язок
. |
Нехай . Розв'язок задачі представимо в вигляді таблиці 1.
Таблиця 1
i |
xi |
yi |
F(xi,yi) |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0,05 |
|
2 |
2 |
|
|
3 |
3 |
|
|
4 |
4 |
|
|
5 |
5 |
|
|
6 |
6 |
|
|
7 |
7 |
|
|
8 |
8 |
|
|
9 |
9 |
|
|
10 |
10 |
|
|
Таким чином, .
Модифікації методу Ейлера
Розглянемо рівняння (4) в околі вузлів ( ), які є серединами відрізків [ ]. У лівій частині (4) замінимо похідну центральною різницею ( , , ), а в правій частині замінимо значення функції середньоарифметичним значенням функції у точках ( ) і ( ). Тоді замість (6) запишемо:
. |
(8) |
Звідси:
. |
(9) |
Отримана схема є неявною, оскільки шукане значення входить в обидві частини співвідношення (9) і його, взагалі кажучи, не можна виразити явно. Для обчислення можна застосувати один з ітераційних методів. Якщо є хороше початкове наближення , то можна побудувати рішення з використанням двох ітерацій наступним чином. Вважаючи початковим наближенням, обчислюється перше наближення по формулі методу Ейлера (7):
. |
(10) |
Обчислене значення підставляємо замість у праву частину співвідношення (9) і знаходимо остаточне значення:
. |
(11) |
Алгоритм (10), (11) можна записати у виді одного співвідношення:
, ( ). |
Дані рекурентні співвідношення описують нову різницеву схему, що є модифікацією методу Ейлера, яка називається методом Ейлера з перерахунком. Покажемо, що цей метод відрізняється від методу Ейлера більшою точністю. Апроксимація (8) має, на відміну від (6), другий порядок. Дійсно, при заміні похідною в лівій частині (4) допускається похибка . Похибка такого ж порядку має місце і при заміні правої частини (4) правою частиною (8):
|
Тут проведено розклад функції у ряд в околі крапки .
Похибка, що допускається при обчисленні по формулі (9), складає . Цей порядок похибки зберігається і при використанні двох ітерацій (10), (11), оскільки:
. |
Таким чином, похибка на кожному кроці (локальна) має порядок , а сумарна по аналогії з (7) – на відміну від у звичайному методі Ейлера. Тобто метод Ейлера з перерахунком має другий порядок точності.
Відмітимо, що при використанні неявної схеми (9) виходить практично те ж значення , що і в методі Ейлера з перерахунком. Проте застосування схеми (9), що вимагає побудови ітераційного процесу для обчислення значення привело б до значного зростання часу розрахунку на кожному кроці.
На рис. 1 зображено геометричну інтерпретацію першого кроку при розв’язанні задачі Коші методом Ейлера з перерахунком. Дотична до кривої у точці проводиться з кутовим коефіцієнтом . З її допомогою за методом Ейлера (7) знайдено значення , яке використовується для визначення нахилу дотичної у точці . Відрізок з таким нахилом замінює первинний відрізок дотичної від точки до точки . В результаті виходить уточнене значення шуканої функції у цій точці.
Рисунок 1 – Метод Ейлера з перерахунком
За допомогою методу Ейлера з перерахунком можна проводити контроль точності рішення шляхом порівняння значень і і вибору на підставі цього відповідної величини кроку у кожному вузлі. А саме, якщо величина порівнянна з похибками обчислень, то крок потрібно збільшити; інакше, якщо ця різниця дуже велика (наприклад ), значення слід зменшити. Використовуючи ці оцінки, можна побудувати алгоритм методу Ейлера з перерахунком з автоматичним вибором кроку.
Разом з методом Ейлера з перерахунком використовується і інша модифікація методу Ейлера. Так само, як і в методі Ейлера з перерахунком, розглянемо рівняння (4) в околі вузлів ( ). В лівій частині (4) замінимо похідну центральною різницею ( , , ), а праву частину залишимо без змін:
. |
(12) |
Наближене значення функції у точці обчислимо за допомогою методу Ейлера:
. |
(13) |
Виразимо з (12), замінивши його наближенням :
, |
(14) |
Отриманий метод у виді формул (13), (14) називається вдосконаленим методом Ейлера. Неважко показати, що він також має другий порядок точності.