- •Поліном Лагранжа
- •Завдання для самостійної роботи
- •Тема: Апроксимація функцій Теоретичні відомості Емпіричні формули
- •Визначення параметрів емпіричної залежності
- •Метод найменших квадратів
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Розв’язок
- •Метод Сімпсона
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна рОбота №3
- •Теоретичні відомості Чисельне розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Метод Гаусса
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна рОбота №4 Тема: Нелінійні рівняння Теоретичні відомості
- •Метод хорд
- •Метод Ньютона (метод дотичних)
- •Розв’язок
- •Комбінований метод хорд і дотичних
- •Метод ітерацій або метод послідовних наближень
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна рОбота №5 Тема: Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь Теоретичні відомості
- •Метод Ейлера
- •Модифікації методу Ейлера
- •Метод Рунге-Кутта
- •Завдання для самостійної роботи
- •Список літератури
Розв’язок
Якщо зобразити задані табличні значення на графіці (рис. 1), то легко переконатися, що в якості емпіричної формули для апроксимації функції можна прийняти поліном другого ступеню, графіком якого є парабола:
. |
В даному випадку маємо:
, , , , , |
, , . |
Після обчислення матриці і вектора маємо:
, . |
Система рівнянь (16) приймає наступний вид:
. |
Звідки знаходимо значення параметрів емпіричної формули: , , . Таким чином, отримуємо наступну апроксимацію функції, заданої у табличному виді:
. |
Оцінимо відносні похибки отриманої апроксимації в заданих точках, тобто знайдемо значення .
Результати обчислень представимо у виді таблиці 2:
Таблиця 2
|
|
|
|
|
0,75 1,50 2,25 3,00 3,75 |
2,47 1,25 1,15 2,17 4,32 |
2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 |
-0,03 0,05 0,03 -0,08 0,04 |
-0,012 0,042 0,027 -0,036 0,009 |
На рис. 1 побудовано графік знайденої емпіричної функції. Крапками, нанесені задані табличні значення функції .
Рисунок 1 – Графік емпіричної функції
Завдання для самостійної роботи
Використовуючи метод найменших квадратів вивести емпіричну формулу для функції , яка задана в табличному виді.
Таблиця 1 |
Таблиця 2 |
Таблиця 3 |
Таблиця 4 |
Таблиця 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таблиця 6 |
Таблиця 7 |
Таблиця 8 |
Таблиця 9 |
Таблиця 10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таблиця 11 |
Таблиця 12 |
Таблиця 13 |
Таблиця 14 |
Таблиця 15 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таблиця 16 |
Таблиця 17 |
Таблиця 18 |
Таблиця 19 |
Таблиця 20 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таблиця 21 |
Таблиця 22 |
Таблиця 23 |
Таблиця 24 |
Таблиця 25 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таблиця 26 |
Таблиця 27 |
Таблиця 28 |
Таблиця 29 |
Таблиця 30 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Лабораторна рОбота №2
Тема: Чисельне інтегрування
Теоретичні відомості
Методи прямокутників і трапецій
Простим методом чисельного інтегрування є метод прямокутників. Він безпосередньо використовує заміну певного інтеграла інтегральною сумою:
. |
У якості точок можуть вибиратися ліві ( ) або праві ( ) межі елементарних відрізків. Позначаючи , , отримуємо наступні формули метода прямокутників відповідно для цих двох випадків:
. |
(1) |
. |
(2) |
Більш поширеною та точнішою є формула прямокутників, що використовує значення функції в середніх точках елементарних відрізків (у напівцілих вузлах):
, , . |
(3) |
Надалі під методом прямокутників розумітимемо останній алгоритм (він ще називається методом середніх).
У розглянутому методі прямокутників використовується кусочно-постійна інтерполяція: на кожному елементарному відрізку функція наближається функцією, що приймає постійні значення (константи). При цьому площа всієї фігури (криволінійної трапеції) приблизно складається з площ елементарних прямокутників. На рис. 1 верхня, середня і нижня горизонтальні штрихові лінії відносяться до елементарних прямокутників, які відповідають формулам (2), (3) і (1).
Метод трапецій використовує лінійну інтерполяцію, тобто графік функції представляється у вигляді ламаної такої, що сполучає точки ( ). В цьому випадку площа всієї фігури приблизно складається з площ елементарних прямолінійних трапецій (рис. 1). Площа кожної такої трапеції дорівнює добутку напівсуми основи на висоту:
. |
Складаючи всі ці рівності, отримуємо формулу трапецій для чисельного інтегрування:
. |
(4) |
Рисунок 1 – Обчислення у методах прямокутників і трапецій
Важливим окремим випадком розглянутих формул є їх застосування при чисельному інтегруванні з постійним кроком ( ). Формули прямокутників і трапецій в цьому випадку приймають відповідно вид:
|
(5) |
. |
(6) |
Розглянемо приклад використання цих формул при ручному підрахунку для простого інтеграла, що допускає також безпосереднє обчислення. Такий приклад дозволить порівняти результати розрахунків, отримані різними способами.
Приклад.
Обчислити інтеграл .