Метод Гаусса-Зейделя

Одним з найпоширеніших ітераційних методів, який відрізняється простотою і легкістю програмування, є метод Гаусса-Зейделя.

Проілюструємо спочатку цей метод на прикладі розв’язання системи:

(8)

Припустимо, що діагональні елементи відмінні від нуля (інакше можна переставити рівняння).

Виразимо невідомі відповідно з першого, другого і третього рівнянь системи (8):

.	(9)
.	(10)
.	(11)

Задамо деякі початкові (нульові) наближення значень невідомих: , :

.

Використовуючи це значення для і наближення для знаходимо з (10) перше наближення для :

.

І нарешті, використовуючи обчислені значення , , за допомогою виразу (11) обчислимо перше наближення для :

.

На цьому закінчується перша ітерація розв’язання системи (9) – (11).

Використовуючи тепер значення можна таким чином провести другу ітерацію, в результаті якої будуть знайдені другі наближення до розв’язку , .

Наближення з номером можна обчислити, знаючи наближення з номером , наступним чином:

, , .

Ітераційний процес продовжується до тих пір, доки значення не стануть близькими із заданою похибкою до значень .

Приклад.

Розв’язати за допомогою методу Гаусса-Зейделя наступну систему рівнянь:

Легко перевірити, що розв’язок даної системи наступний: .

Розв’язок

Виразимо невідомі відповідно з першого, другого і третього рівнянь:

, , .

У якості початкового наближення (як це зазвичай робиться) приймемо :

, , .

Аналогічно обчислимо наступні наближення:

, , .

Ітераційний процес можна продовжувати до отримання малої різниці між значеннями невідомих в двох послідовних ітераціях.

Розглянемо тепер систему лінійних рівнянь з невідомими. Запишемо її у виді:

, ( ).

Тут також будемо припускати, що всі діагональні елементи відрізняються від нуля. Тоді відповідно до методу Гаусса-Зейделя -е наближення до розв’язку можна представити у виді:

, ( ).

(12)

Ітераційний процес продовжується до тих пір, доки всі значення не стануть близькими до . Як критерій завершення ітерацій використовується одна з умов (13) – (15).

Якщо задана допустима похибка , то критерієм закінчення ітераційного процесу можна вважати одну з трьох нерівностей:

.	(13)
.	(14)
при .	(15)

Для збіжності ітераційного процесу (12) достатньо, щоб абсолютні величини діагональних коефіцієнтів для кожного рівняння системи були не менші сум модулів всіх інших коефіцієнтів:

, ( ).

(16)

При цьому хоч би для одного рівняння нерівність повинна виконуватися строго. Ці умови є достатніми для збіжності методу, але вони не є необхідними, тобто для деяких систем ітерації сходяться і при порушенні умов (16).