Метод Ейлера

Нехай задано звичайне диференційне рівняння першого порядку:

.

(4)

Необхідно знайти розв’язок цього рівняння , який задовольняє початковій умові:

.

(5)

Така задача називається задачею Коші.

Чисельний розв’язок задачі Коші полягає в знаходженні значень у точках ; ; …; відрізка , де h–крок інтегрування; ; .

Розглянемо рівняння (4) в околі вузлів ( ) та замінимо у лівій частині похідну правою різницею ( , , ). При цьому значення функції у вузлах замінимо значеннями сіткової функції :

.

(6)

Отримана апроксимація диференційного рівняння (4) має перший порядок, так як заміняючи (4) на (6) допускається похибка .

Припустимо, що вузли рівновіддалені, тобто ( ). Тоді із рівності (6) отримаємо:

, .

(7)

Зауважимо, що з рівняння (4) випливає наступне:

.

Тому (7) представляє собою наближене знаходження значення функції у точці за допомогою розкладання у ряд Тейлора. Іншими словами, приріст функції припускається рівним її диференціалу.

Припускаючи , за допомогою співвідношення (7), знаходимо значення сіткової функції при :

.

Необхідне тут значення задано початковою умовою (5).

Аналогічно можна знайти значення сіткової функції у інших вузлах:

.

Цей алгоритм називається методом Ейлера. Різницева схема цього методу представлена співвідношенням (7). Вона має вид рекурентних формул, за допомогою яких значення сіткової функції у будь-якому вузлі обчислюється по її значенню у попередньому вузлі . У зв’язку з цим метод Ейлера відноситься до однокрокових методів.

Метод Ейлера найпростіший і порівняно грубіший чисельний метод інтегрування.

Приклад.

Розв’язати диференційне рівняння в інтервалі , .

Розв'язок

.

Нехай . Розв'язок задачі представимо в вигляді таблиці 1.

Таблиця 1

i	xi	yi	F(xi,yi)
0	0	0
1	1	0,05
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	10

Таким чином, .

Модифікації методу Ейлера

Розглянемо рівняння (4) в околі вузлів ( ), які є серединами відрізків [ ]. У лівій частині (4) замінимо похідну центральною різницею ( , , ), а в правій частині замінимо значення функції середньоарифметичним значенням функції у точках ( ) і ( ). Тоді замість (6) запишемо:

.

(8)

Звідси:

.

(9)

Отримана схема є неявною, оскільки шукане значення входить в обидві частини співвідношення (9) і його, взагалі кажучи, не можна виразити явно. Для обчислення можна застосувати один з ітераційних методів. Якщо є хороше початкове наближення , то можна побудувати рішення з використанням двох ітерацій наступним чином. Вважаючи початковим наближенням, обчислюється перше наближення по формулі методу Ейлера (7):

.

(10)

Обчислене значення підставляємо замість у праву частину співвідношення (9) і знаходимо остаточне значення:

.

(11)

Алгоритм (10), (11) можна записати у виді одного співвідношення:

, ( ).

Дані рекурентні співвідношення описують нову різницеву схему, що є модифікацією методу Ейлера, яка називається методом Ейлера з перерахунком. Покажемо, що цей метод відрізняється від методу Ейлера більшою точністю. Апроксимація (8) має, на відміну від (6), другий порядок. Дійсно, при заміні похідною в лівій частині (4) допускається похибка . Похибка такого ж порядку має місце і при заміні правої частини (4) правою частиною (8):

Тут проведено розклад функції у ряд в околі крапки .

Похибка, що допускається при обчисленні по формулі (9), складає . Цей порядок похибки зберігається і при використанні двох ітерацій (10), (11), оскільки:

.

Таким чином, похибка на кожному кроці (локальна) має порядок , а сумарна по аналогії з (7) – на відміну від у звичайному методі Ейлера. Тобто метод Ейлера з перерахунком має другий порядок точності.

Відмітимо, що при використанні неявної схеми (9) виходить практично те ж значення , що і в методі Ейлера з перерахунком. Проте застосування схеми (9), що вимагає побудови ітераційного процесу для обчислення значення привело б до значного зростання часу розрахунку на кожному кроці.

На рис. 1 зображено геометричну інтерпретацію першого кроку при розв’язанні задачі Коші методом Ейлера з перерахунком. Дотична до кривої у точці проводиться з кутовим коефіцієнтом . З її допомогою за методом Ейлера (7) знайдено значення , яке використовується для визначення нахилу дотичної у точці . Відрізок з таким нахилом замінює первинний відрізок дотичної від точки до точки . В результаті виходить уточнене значення шуканої функції у цій точці.

Рисунок 1 – Метод Ейлера з перерахунком

За допомогою методу Ейлера з перерахунком можна проводити контроль точності рішення шляхом порівняння значень і і вибору на підставі цього відповідної величини кроку у кожному вузлі. А саме, якщо величина порівнянна з похибками обчислень, то крок потрібно збільшити; інакше, якщо ця різниця дуже велика (наприклад ), значення слід зменшити. Використовуючи ці оцінки, можна побудувати алгоритм методу Ейлера з перерахунком з автоматичним вибором кроку.

Разом з методом Ейлера з перерахунком використовується і інша модифікація методу Ейлера. Так само, як і в методі Ейлера з перерахунком, розглянемо рівняння (4) в околі вузлів ( ). В лівій частині (4) замінимо похідну центральною різницею ( , , ), а праву частину залишимо без змін:

.

(12)

Наближене значення функції у точці обчислимо за допомогою методу Ейлера:

.

(13)

Виразимо з (12), замінивши його наближенням :

,

(14)

Отриманий метод у виді формул (13), (14) називається вдосконаленим методом Ейлера. Неважко показати, що він також має другий порядок точності.