9.2. Ориентировочные расчеты.

Приближенные расчеты, для которых допустимы ошибки более 10% к итоговым числам, часто применяются в качестве пробных при планировании эксперимента, в выборе направления к оптимуму, проверках корректности программ и т.п.

В статистических расчетах делаются грубые оценки при сокращении числа интервалов. Кроме общеизвестного правила «трех сигм» для НР применимы три-четыре интервала в масштабе вертикальном для ВР. В логарифмическом масштабе учитываются только порядки, так что остаются линейные соотношения на параметрической оси.

1. Условия: определение средневзвешенной цены новой модели, планируемой для поставок. На выставке, демонстрирующей новинку, предложено заключить сделку двум группам по 50 бизнесменов-оптовиков.

В первой группе названа цена 6000 руб. — согласен один, во второй группе — 5500 руб. - согласно восемь.

Решение: прогнозируется НР. По правилу 3 определятся , как разность двух квантилей 6000-5500=500. Медиана и средняя цена будет 5500-500=5000.

Ответ: =500, с_ср=5000руб., с_min — цена, по которой заключат сделку 98 бизнесменов из 100, составит 4000 руб.

2. Фирма, торгующая импортными телевизорами, формирует на складах ассортимент — средний размер экрана D_ср=17 дюймов со средним квадратичным отклонением =1дюйм. Маркетологи выяснили, что спрос определяется D_{ср с}=16 дюймов при _с=1дюйм.

Решение: директору фирмы надо показать доходчивый график:

		2%	14%	34%	34%	14%	2%		Фирма
13 14 15 16 17 18 19 20
	2	14	34	34	14	2			Покупатель
13 14 15 16 17 18 19 20
		2	14	34	14	2			Итого
13 14 15 16 17 18 19 20

Ответ: на каждые 100 покупателей 66 купят ТВ, остальные уйдут к конкурентам. На складе останутся 34 ТВ из 100.

3. Средний возраст инженеров на заводах 42 года со среднеквадратическим отклонением 7 лет. Если разделить их по возрасту на 3 группы, то среди 200 сотрудников конкретного КБ надо рассчитать состав каждой.

Решение: если принять размах возраста от 21 до 63 лет, то в первой группе, от 21 до 35 лет, будет 200*0,16=32 человека; во второй, от 35 до 49, будет 200*0,68=136 человек, и от 49 до 63 лет будет остальные 32 инженера.

Ответ: 32-136-32.

4. Фирма закупила партию радиотелефонов — 100 штук. Их частоты определялись на контрольном автомате бракующим телефоны с частотой менее 56 МГц и более 59 МГц. В итоге разбраковки выяснилось, что: 2 телефона имели частоту меньше 56 МГц и 16 — больше 59 МГц.

Решение: гипотеза о НР частоты радиотелефонов. По правилу 3 среднее значение и медиана

f_ср=58 МГц, а  = 1МГц.

Ответ: f_ср=58 МГц,  = 1МГц.

5. Фирма часто применяет экспертные оценки. Часть оценок доступно определению ошибок эксперта при апостериорном анализе. В частности, прогноз цен на новые услуги.

Условия: Прогнозы экспертов отличаются от выявленных впоследствии со случайной погрешностью 15%. Систематическая погрешность пренебрежимо мала. Требуется определить, при ассортименте 30 позиций, сколько из них будет оценено больше на 10% реальной цены.

Решение: При гипотезе об НР по правилу 3 искомый квантиль на уровне + 2 поскольку 3  15%, то   5% . Вне найденного квантиля не более 1 позиции из 30. Точнее говоря, если бы ассортимент был из 300 позиций, то больше 10% оказались бы шесть.

6. У приемников среднее значение чувствительности 30 мкВ, а среднее квадратичное — 5мкВ. В магазин поступила партия 200 ед.

Условия. Требуется чувствительность не хуже 40 мкВ, поэтому был введен предпродажный контроль 5мкВ.

Требуется определить сколько будет отбраковано и ошибочно принято.

Решение:

Рис. 70. Функция распределения чувствительности приемников.

200 шт., разместятся по правилу 3, так что вне поля допуска будет 4 приемника. Они будут в зоне ошибок контроля. При грубом расчете 3/4 верно и 1/4 неверно разбраковывается, т.е. будет ошибочно принято — 1 приемник.

Ответ. 4 приемника — брак, из них 1 ошибочно принят.

7. На распродажу завезли 100 магнитол. Нужно в начале дня прогнозировать товарные остатки на вечер.

Строится функция распределения продаж (рис.71).

За 1 час была продана 1 магнитола, за 3 — десять. прогнозирование по полученным двум квантилям дает среднее время продаж _c = 10 часов.

Ответ. После рабочего дня прогнозируется вывоз ~ 36 магнитол.

Рис. 71. Функция распределения распределения продаж.

8. На складе хранятся батарейки, надо проверить их работоспособность. Выборка из 10 штук поставлена на предельную нагрузку. Уменьшение тока фиксировалось на графике.

Рис. 72. Функция распределения времени работоспособности батареек.

Ответ. Если считать испытанную выборку представительной, то прогнозируется для партии 0,1 часа на уровне квантиля 0,001, что неприемлемо для престижа фирмы. Нужно испытать выборку 100 шт. и если размах не будет меньше – ввести уценку.

9. От покупателей поступили жалобы на перегорание вилок сетевого шнура. Потребовалась идентификация повреждений и отказов.

Рис. 73. Функция распределения пробивного напряжения.

Выборка из 10 шнуров подверглась предельным механическим воздействиям – по ТУ и проверке на пробивное напряжение. Среднее пробивное напряжение 640 В, что вполне достаточно, но квантиль 0,1 на уровне 200 В, что подтверждает наблюдения покупателей. F(V) этой выборки достаточно для отказа от поставок, хотя достоверность оценки недостаточна.

10. Наработка микросхем по паспорту 50 000 час. Необходимо определить число отказов в течение гарантийного срока РЭС, соответствующее ТУ. По общепринятому мнению, интенсивность отказов =(1/Т_ср) ч^-1 постоянна при эксплуатации, примерно две микросхемы из 10⁵ за час весь год. Исходя из ВР, число отказов будет зависеть от итогов предыдущего периода. Начало эксплуатации соответствует некоторому квантилю F(T). По ТУ, распределение экспоненциальное k=1. Это значит, что

за 50 000 ч откажет 63,2% микросхем

за 5 000 ч — 10%

за 500 ч — 1%, и т.д.

Ответ: за год эксплуатации ~3000 ч откажет ~6% всех микросхем в РЭС по ТУ, причем предполагается в равные периоды одинаковые доли отказавших.

11. Партия телевизоров 1000 шт. под наблюдением бюро надежности. Итоги сведены на графике.

за 2 ч — 1 отказ

за 200 ч — 10 отказов

Нужно прогнозировать последующие отказы

Рис. 74. Функция распределения времени наработки теливизоров до отказа.

Решение. Средняя наработка до отказа 2*10⁶ ч. Параметр формы: lg 200-lg 2 = 1/k = 2; k = 0,5

12. Уровень дефектности индикаторов Q_ср=3%. Поступило 200 партий. Для производства необходимы партии не хуже q_пр=3%, поэтому введен входной контроль с приемочным 0,3% и браковочным 3% уровнями дефектности.

Условия. Распределение F(Q) предполагается экспоненциальным.

Из 200 партий имеет уровень дефектности менее 3% — 126.

В процессе контроля будут приняты все партии с уровнем дефектности менее 0,3% — 20. Партии хуже, чем 3% будут практически все забракованы — 74. В зоне ошибок разбраковки окажется 106 партий. В первом приближении половина из них принята — 53 и половина забракована.

Уточнение расчета путем введения двух интервалов, разделенных уровнем q_пр=2% с которым совмещается середина оперативной характеристики. От 0,3% до 2% всего 70 партий, из них 52 (26%) принято и 18 забраковано (3/4:1/4).

Рис. 75. Функция распределения девектности индикаторов.

Остальные 36 партий с уровнем дефектности от 2% до 3%. По правилу 3/4:1/4 27 партий принято и 9 забраковано.

Таблица 23. Результаты контроля партий.

Число партий	Принято	Забраковано	Вывод
До 2%	58	18	18 ошибок
После 2%	9	27	9 ошибок
Всего	61	45

13. Фирме необходимо определить покупательскую позицию по ТВ «Горизонт». В магазинах оценивались доли покупателей, выбравших этот ТВ.

Всего опрошено 33 выборки.

Максимальное значение q_макс= 10%. В большинстве выборок нуль.

По всем опросам определен средний уровень q_ср=1%.

Рис. 76. Функция распределения доли покупателей, выбравших этот ТВ.

F(q) демонстрирует, что наличие хотя бы одной покупки фиксируется среди 100 покупателей в одном случае из трёх.

Исследовалась посещаемость отделов ТВ путем опроса продавцов, которые указывали дни с числом посетителей менее 30. Собраны данные за 50 дней.

Рис. 77. Функция распределения общего числа покупателей.

Доля дней с посещаемостью более 100 покупателей — 0,36, т.е. 1/3.

Решение. Частота покупок ТВ «Горизонт» определяется по 2 графикам — хотя бы одна покупка в день — 1/3*1/3=1/9. Одна покупка в 9 дней.

На складе рационально хранить не более одного телевизора, поскольку залежалый товар нельзя продать. Ажиотажный спрос прогнозируется не чаще, чем раз в 1000 дней. За 3 года наверняка заменят марку.

14. При выборе цены на новый товар были опрошены эксперты. Назначенные ими цены обрабатывались исходя из НР. Средняя цена руб. Среднее квадратичное  — 200 руб. Директор назначил цену для пробной продажи 1600 руб.

Условия. Директору необходимы данные о достоверности экспертных оценок. Для этого проводится наблюдение за пробной продажей по цене 1600 руб. Предполагалось, что из 50 покупателей согласиться приобрести товар один. Однако было 8 покупок.

Решение. Предполагается ошибка экспертов:

• вариант систематической ошибки =200 руб., т.е. средняя цена 1400 руб.

• вариант большей, чем предполагалось, случайной ошибки, т.е. реальная   400 руб.

Оба варианта имеют следствием квантиль 1600 руб. На уровне C_ср+1.

Для выбора окончательного вывода по достоверности оценок, требуется повторная пробная продажа с ценой 1800 руб. (для первого варианта) или 2000 руб. (для второго варианта) с прежней гипотезой — 2 покупки при 50 посетителях.