5.10. Выбор теоретических функций распределения

Наиболее часто используемой, а во многих источниках единственной, является теоретическая функция Гаусса. По ГОСТу – нормальное распределение (НР). Ему посвящена обширная библиотека профессиональной литературы, его меры математическое ожидание М(х) = и дисперсия D = ² являются "универсальными", используемыми в практике безотносительно к виду распределения.

Прочие 200 теоретических распределений, разработанные для конкретных типов прикладных задач, включая несовместимые с НР, редко применяются или вовсе не известны специалистам. Особенно опасными, с катастрофическими последствиями, являются расчеты прочности и надежности по некорректным мерам. Близки к ним по разрушительности некоторые экономические расчеты.

Противопоказания по применению НР проясняются при чтении, самом поверхностном, вывода формулы нормального распределения. Собственно вывод занимает десятки страниц математических выкладок. Методическая их основа относительно доступна и является необходимой при корректном использовании НР в качестве инструмента.

Задачи, для которых формировалось НР, связаны с погрешностями измерений. Измерения рассматривались с относительно небольшим разбросом. Разность экстремальных значений делилась на среднее для оценки коэффициента вариации К<< 1.

Рассматриваемые задачи ограничивались исходными допущениями:

1. Все отклонения случайной величины Х от некоторого значения А вызвано действием множества воздействий, число которых N стремится к бесконечности.

2. Каждое воздействие проявляется в отклонении , которое стремится к нулю.

3. Отклонения из-за каждого воздействия взаимонезависимы.

Для «доходчивости» названных допущений в университетах США использовали доску, по которой скатывались шарики, задевая множество штырьков, достаточно малых.

Можно представить в воображении толпу студентов, спешащих к двери автобуса. Видя впереди дверь (координата А), надо обходить очередную спину справа или слева (+ и –) вплоть до проезжей части. Скорее всего, дверь окажется в стороне от протянутых рук. При многократных попытках попасть в автобус можно отмечать, сколько метров осталось до вожделенной двери, когда удалось выбраться из толпы.

Далее следуют преобразования, которые могут анализировать любители математики. Практиков интересуют итоги. Формулу удалось получить для функции распределения плотности вероятностей f(х). Эта функция не интегрируется, поэтому F(х) получают исключительно посредством численного интегрирования. Для этого теперь есть типовые программы, по которым, в частности, считается масштаб вероятностного графика для НР.

Величина А становится математическим ожиданием М(х) при устремлении к бесконечности N. Конечное число значений определяет .

Дисперсия, т.е. ², опять таки при устремлении к бесконечности числа реализаций N является пределом

где  – отклонение из-за одной причины.

Если каждое отклонение из-за одной причины бесконечно мало, но причин бесконечно много и есть конечный предел (в практике это далеко не всегда имеет место), то можно оперировать названной мерой.

Наличие этого предела легко узнаваемо в эмпирических данных по характерному «колоколу». Отклонения симметричны относительно центра, так, что среднее значение равно медианому и модальному значениям, а мера  «нормирует» отклонения по инженерному правилу «3»:

2% 14% 34% 34% 14% 2%

-3 -2 -1 0 1 2 3,

оставляя вне этих интервалов всего 0,27% реализаций.

В состав задач, вписывающихся в НР, кроме ошибок измерений, входят вариации параметров продукции с относительно малым разбросом, прежде всего, в массовом и автоматизированном производствах. Вертикальная шкала вероятностного графика симметрична относительно уровня 0,5 и, если ее измерять в количестве , является линейной.