5.3. Статистические меры

Во многих расчетах достаточно точечных оценок, т.е. определения статистического ансамбля одним или двумя числами. Этими числами являются статистические меры. Основными видами этих мер являются меры центра группирования (положения) и меры рассеяния (формы).

5.3.1. Меры центра группирования

1. Выше упомянутая мера называется среднеарифметическим или средневзвешенным значением, а в теоретическом распределении – математическим ожиданием.

Физическая модель этой меры может быть составлена из линейки с масштабом для параметра Х и кнопок, каждая из которых представляет значение х_i. После размещения всех кнопок линейку уравновешивают на опоре – в точке, определяющей .

2. Медиану определяют по упорядоченной выборке. Это срединное значение: половина выборки меньше, а другая половина больше медианы. Ситуация когда медиана равна среднему встречается, когда распределение симметрично.

Рис. 23. Точечные оценки (распределение несимметричное).

3. Среднее геометрическое значение, получают, складывая логарифмы реализаций и разделив на число измерений. Применяется сравнительно редко.

4. Характеристическое значение Х_е определяется по упорядоченной выборке. Больше этого значения – доля выборки 0,368 (это величина, обратная натуральному числу е).

Все меры центра группирования определяют положение на параметрической оси основной части выборки или статистического ансамбля, сгруппированные относительно тесно, причем доля «центральных» значений порядка 0,9.

Остальная часть выборки или партии находятся в областях максимальных и минимальных значений.

5.3.2. Меры рассеяния

Чаще всех прочих, применяется среднее квадратичное отклонение  (стандартное отклонение или просто стандарт S).

Эту меру рассчитывают по общеизвестной формуле или считывают, как ширину интервала на графике. Последнее предпочтительнее, поскольку форма свидетельствует о корректности применения  – меры нормального распределения.

Каждое теоретическое распределение имеет свою меру рассеивания. При неопределенности теоретического распределения возникает необходимость в «универсальных» мерах, которые несложно пересчитывать в специальные меры. «Универсальными» являются квантили Х_р. Квантили определяются по упорядоченной выборке. Значение квантиля Х_р больше значений, доля которых равна Р. В качестве меры рассеивания удобно использовать пару квантилей:

Х_0,1 – из 100 значений в выборке десять значений меньше Х_0,1;

Х_0,01 – из 100 значений в выборке одно значение меньше Х_0,01.

По этим квантилям удобно рассчитывать меры рассеивания, например (см. рис. 22):

Х_0,1 – Х_0,01 = 

Квантили упоминаются в публикациях, в частности, сравнение доходов богатых и бедных производится на уровне 10%. Это квантили Х_0,1 – самые бедные и Х_0,9 – самые богатые.

5.4. Функции распределения

Стохастическая модель строится на основе функций распределения – теоретической F_т(х) и эмпирической F_э(х) для расчетов, не ограниченных по точности и достоверности.

Теоретическая функция распределения F_т(х) имеет смысл вероятности того, что случайная величина (СВ) Х не превысит текущего значения Х. При изменении Х от – до + значения F_т(х) меняются от 0 до 1.

Функция F_т(х) дифференцируема во всей области своего существования. Для этого вводится математиками аксиома о превращении множества точек в непрерывную линию при устремлении их количества к бесконечности.

Результатом дифференцирования является f(х) – функция распределения плотностей вероятностей. Именно эту функцию изображают в виде «колокола». Гистограмма рассматривается, как графическая интерпретация f(х). При интегрировании f(х) получают интегральную функцию распределения F(х).

Аналитическое выражение F_т(х) может быть неосуществимо и тогда применяется численное интегрирование.

Технико-экономическая литература оперирует, как правило, функцией распределения плотностей вероятностей f(х), её графическими представлениями, полигоном, в частности, а также её мерой – модальным значением.

Однако в практических задачах все партии имеют конечный объем и устремлять его к бесконечности не всегда корректно.

В итогах измерений могут быть разрывы т.е. недифференцируемость. Между тем, многие авторы анализируют модальные значения, трактуют бимодальность и т.п. результаты с чрезмерным риском ошибок. Методические погрешности являются главным недостатком гистограмм.

Функция распределения F(х) является неубывающей, для нее не требуются интервалы, каждое значение сохраняет исходную точность. Именно это обеспечивает ее отличные метрологические характеристики и доступность для прецизионных расчетов. В последующем изложении используются исключительно функции распределения F_э(х) и F_т(х).