Ду, допускающие понижение порядка

F(x, y, y’, y”, …, y⁽ⁿ⁾) = 0 (1)

Опр. Cоотношение вида Ф(x, y, y’, y”, …, y^(n-1) ) = С являющееся диффер.уравнением n-1 порядка называется первым интегралом д.у.(1), если при подстановки в него решения y(x) урав. (1), оно обращается в тождество.

Опр. Первые интегралы Ф_i (x, y, y’, y”, …, y^(n-1) , С_i) = 0 i=1..k диффер.ур.(1) называются независимыми, если не существует связи вида ψ (Ф₁,…, Ф_k)=0,

Т-ма. Если известны k независимых первых интегралов д.у. (1) то порядок уравнения (1) можно понизить на k единиц.

Рассмотрим типы уравнений, допускающих понижение порядка( с помощью заме-ны переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже)

I) y⁽ⁿ⁾=f(x)

будем последовательно интегрировать это уравнение, тем самым последовательно понижая степень:

II) F(x, y^(k), …, y⁽ⁿ⁾) = 0, k>=1 ( уравнение не содержит y). Подстановка y^(k) =p, p=p(x) – новая неизвестная функция понижает порядок уравнения на k единиц, получим F(x, p, p’, …, p^(n-k)) = 0.

ПР. y”=f(x, y’) – это уравнение не содержит y. Подстановка y’=p, p=p(x) – новая неизвестная функция. Тогда у”=p’ и уравнение принимает вид p’=ƒ(х, р). Пусть р=φ(х, C₁) – общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на y’, получаем ДУ: y’= φ(х, C₁). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение начального уравнения будет иметь вид

III) F( y, y’, y”, …, y⁽ⁿ⁾) = 0 ( уравнение не содержит x). Подстановка y’ =p, p=p(y) – новая неизвестная функция понижает порядок уравнения на единицу, получим F(y, p, p’, …, p^(n-1)) = 0.

ПР. y”=f(y, y’) – это уравнение явно не содержит x. Понижаем порядок уравнения подстановкой у’=р(y), р(y)-функция от у. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р = р(у(х)):

теперь уравнение запишется в виде .

Пусть р= φ(y, C₁) является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(y) на y’, получаем y’= φ(y, C₁) - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл начального уравнения: .

IV) Если уравнение (1) однородно относительно функции y и её производных

т.е. F(x, ty, ty’, ty”, …, ty⁽ⁿ⁾) = t^m F(x, y, y’, y”, …, y⁽ⁿ⁾), то порядок уравнения можно понизить на единицу подстановкой y’=yz(x), z(x) – новая неизвестная функция.

Т-ма. Если известно m (m<n) линейно независимых решений л.о.д.у.

с непрерывными на (a,b) коэф., то порядок этого уравнения можно понизить на m единиц.

Общее решение линейного однородного ду

Опр. Общим решением диф. уравнения на отрезке (a;b) называется функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ), зависящая от n произвольных постоянныхC₁,..., C_n и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C₁,..., C_n функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ) является решением уравнения на (a; b);

− какова бы ни была начальная точка (x₀, y₀, y_1,0 ,..., y_{n − 1,0} ) , x₀∈ (a;b) , существуют такие значения C₁ =C₁₀ , ..., C_n = C_n0 , что функцияy = Φ(x, C₁₀ , ..., C_n0) удовлетворяет начальным условиям y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y_1,0 ,..., y^{(n − 1)} (x₀) = y_{n− 1,0} .