1. Найти производные

,

Предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, стремящегося к нулю, называется производной функции в данной точке.

Вычисление производной можно провести по определению или по правилам дифференцирования.

Используем правила дифференцирования.

1. Преобразуем функцию к виду

Используя таблицу производных, получаем

2. Воспользуемся формулой для производной произведения

2. Найти значение третьей производной в точке х0

, х₀=π

Данная функция является сложной функцией. Во первых, это степенная функция (степени 3), во-вторых, это тригонометрическая функция (sin), в-третьих, это сложный аргумент (2х). Тогда, производная от данной функции есть композиция выделенных функций

3. Найти область определения функции

Область определениея функции есть множество значений х, при которых функция имеет смысл.

Логарифмическая функция имеет смысл, если

отсюда

0 6

Таким образом,

4. Провести исследование функции и построить ее график

1. Область определения

, . Таким образом,

2. Множество значений

Множество значений функции – это множество ограничений на у.

3. Четность, нечетность

,

Функция четная, значит её график симметричен относительно оси ОУ.

4. Периодичность

Функция непериодическая.

5. Монотонность

+ -1 + 0 - 1 - х

Функция возрастает на промежутках , убывает .

Точка х=0 – точка максимума

Тогда наибольшее значение функции

6. Выпуклость

(не имеет решения).

Значит, точек подозрительных на перегиб нет.

+ -1 - 1 + х ᷃ ∩ ᷃

Функция выпукла на (-1;1), на остальных промежутках вогнута.

7. Асимптоты

(из области определения функции)

, значит у=0 – горизонтальная асимптота

, значит наклонных асимптот нет.

8. Дополнительные точки

Найдем точки пересечения графика с координатными осями.

Ох: у=0, - не существует, значит график не пересекает ось Ох.

Оу: х=0, у=-1

9. График

5. Решить задачу линейного программирования.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции F(x,y)=4у-х в области заданной системой неравенств.

1. Сначала построим область, заданную системой неравенств

- - описывает правую полуплоскость относительно оси Оу.

- .

Построим сначала прямую, потом выберем искомую полуплоскость.

у-1=0 есть прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;1).

Прямая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Выдерем точку лежащую в одной из них и проверим выполнимость неравенства.

Пусть, точка (2;2): . Значит, искомая полуплоскость – верхняя относительно прямой у-1=0

- .

Построим сначала прямую, потом выберем искомую полуплоскость.

у-5=0 есть прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;5).

Прямая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Выдерем точку лежащую в одной из них и проверим выполнимость неравенства.

Пусть, точка (2;2): . Значит, искомая полуплоскость – нижняя относительно прямой у-5=0

- .

Построим сначала прямую, потом выберем искомую полуплоскость.

х+у-7=0 есть прямая, проходящая через точки (1;6) и (3;4).

Прямая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Выдерем точку лежащую в одной из них и проверим выполнимость неравенства.

Пусть, точка (5;4): . Значит, искомая полуплоскость – нижняя относительно прямой х+у-7=0

Искомая область является пересечением всех четырех полуплоскостей.

у

6
5
4
2
1
0	1	2		4		6		х

2. Найдем узловые точки области (угловые точки)

А(0;1), В(0;5), С(6;1), D(2;5).

3. Найдем значение функции в каждой точке.

F(A)=4y-x=4-0=4

F(B)=20-0=20

F(C)=4-6=-2

F(D)=20-2=18

Сравнивая значения, находим, что

своего наибольшего значения (20) функция достигает в точке В(0;5);

своего наименьшего значения (-2) функция достигает в точке С(6;1).