Визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника.

Мета роботи: вивчення законів коливання математичного та пружинного маятників.

Завдання:

1. Перевірити залежність періоду вільних коливань математичного маятника від довжини нитки.

2. Експериментально перевірити теоретичну формулу періоду коливання пружинного маятника

3. Визначити прискорення вільного падіння

Обладнання та інструменти: математичний маятник, пружина, комплект тягарців, секундомір, лінійка.

Вказівки на теоретичний матеріал:

1. Коливання математичного маятника.

2. Коливання пружинного маятника.

Теоретичні положення

Рисунок 1

Математичний маятник – це тіло масою m, яке можна вважати матеріальною точкою, підвішене на невагомій нерозтягуваній нитці. Знайдемо період коливань такого маятника. Якщо нитку відхилити від вертикального положення, виникає зворотний момент сили тяжіння mg, плече якої дорівнює L·sinα (рис.3.2). Під дією цього моменту тіло m обертається навколо точки підвісу О. Записуємо основне рівняння динаміки обертального руху (1) Тут: - момент інерції матеріальної точки, кутове прискорення. Знак мінус

враховує, що момент сили mg зменшує кут α.

Одержуємо диференціальне рівняння незатухаючих коливань математичного маятника

(2)

При малих кутах α (менших 5о) можна вважити, що sinα = α. Одержуємо (3) Порівнюючи це рівняння із загальним рівнянням незатухаючих гармонічних коливань (4)

маємо

- циклічна частота коливань,

Т – період коливань математичного маятника.

Прийнявши L = L₀ + ΔL, одержуємо

. (5)

Піднесемо це рівняння до квадрату

. (6)

Видно, що залежність квадрату періоду Т² від зміни довжини нитки ΔL за теорією повинна бути лінійною, а її нахил визначається прискоренням вільного падіння g.

Розв’язком рівняння (3.4) є рівняння незатухаючих гармонічних коливань

. (7)

Рисунок 3

Пружинний маятник – це тіло підвішене на пружині. При виведенні його із положення рівноваги xo на відстань x виникає сила пружності F, яка за законом Гука дорівнює F = -kx (8) де k – жорсткість пружини. Ця сила надає тілу прискорення , або . (9) Рівняння (1.1) запишемо так . (10) Позначивши , одержуємо . (11)

Рівняння (11) називається диференціальним рівнянням незатухаючих вільних гармонічних коливань. Розв’язком цього рівняння є гармонічна функція

, або

, (12)

яка задає координату х тягарця в будь-який момент часу t.

Розглянемо характеристики гармонічних коливань.

Амплітуда А_о – найбільше відхилення точки від положення рівноваги,

Циклічна частота коливань це кількість коливань за 2π секунд

– (13)

Період коливань – це час одного повного коливання, або час, за який фаза коливання змінюється на 2π

– (14)

.

Частота коливань – це кількість коливань за 1 секунду

– (15)