2. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин
;
;
;
;
Коэффициент асимметрии распределения (характеризует «скошенность»)
.
Эксцесс (характеризует «островершинность» распределения)
.
Вероятность попадания СВ Х на
участок от до
(включая )
.
Если СВ непрерывна, то
и
.
Пример 7. Случайная величина Х подчиняется закону распределения с плотностью
1) найти а,
,
;
2) построить графики и ;
3) вычислить
.
Решение. 1). Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием
Тогда
Для нахождения
F(x)
воспользуемся формулой
.
Если х <
0, то
;
0
х 2, то
;
х > 2, то
.
Итак,
Найдем числовые характеристики:
,
.
Или ,
,
.
2). Графики f (x) и F(x) приведены на рисунке 3.
Р и с. 3
3).
=
F(2) – F(1)
= =
.
Пример 8. Закон распределения случайной величины Х задан таблицей
xi |
2 |
4 |
6 |
8 |
pi |
0,4 |
p2 |
0,2 |
0,1 |
1) найти неизвестную вероятность p2, функцию распределения , математическое ожидание , дисперсию , начальный и центральный моменты четвертого порядка (4, ), асимметрию Sk и эксцесс Ех;
2) построить полигон распределения и функцию распределения ;
3) вычислить
вероятность
.
Решение.
1)
р2 = 1 –
(0,4 + 0,2 + 0,1) = 0,3. Следовательно, закон
распределения имеет вид
xi |
2 |
4 |
6 |
8 |
pi |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
Вычислим функцию распределения F(x). Согласно определению
.
Подставляя вероятности рi, находим
Найдем и .
mx
=
=
=
4,0;
;
;
=
=
;
Для нахождения Sk и
Ех определим
и
.
=
=
(2 – 4)30,4 + (4 –
4)30,3 +
+ (6 – 4)30,2 + (8 – 4)30,1 = 4,8;
=
=
(2 – 4)40,4 + (4 –
4)40,3 +
+ (6 – 4)40,2 + (8 – 4)40,1 = 35,2.
Тогда
=
;
=
–0,8.
2) Полигон распределения и график функции F(x) приведены на рисунке 4.
3. Законы Бернулли и Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Нормальный закон распределения
Закон Бернулли:
,
.
Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, – находятся соответственно по формулам:
;
;
;
.
Наивероятнейшее число наступления
события m0 удовлетворяет
неравенству
,
где
.
При этом, если
–
целое число, то наивероятнейших числа
два:
и
.
Закон Пуассона:
,
,
.
На практике применяется, если р
0,1, np
10.
Локальная теорема Муавра-Лапласа:
,
,
,
.
Таблица функции (х)
для положительных значений х
приведена в Приложении 1.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа:
,
.
(–х) = –(х).
Таблица функции Лапласа для положительных значений х (0 х 5) приведена в Приложении 2; для значений х > 5 полагают (х) = 0,5.
Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа используются при n > 15 и 0,1 < р < 0,9 при условии np > 10.
Используя интегральную формулу Муавра-Лапласа можно вычислить вероятность того, что частота появления успеха в n независимых испытаниях Бернулли (т. е. число m / n) отклонится от вероятности успеха не более чем на положительную величину
.
Нормальное распределение имеет следующую функцию плотности:
.
;
.
Если М[Х] = 0,
=
1, то нормально распределенная СВ
называется нормированной, ее функция
плотности
табулирована (см. Приложение 1).
Функция нормального распределения имеет вид
.
Для нормальной СВ Х
. (3)
Формула для вычисления вероятности того, что отклонение нормальной СВ Х от математического ожидания не превосходит имеет вид
.
Оценка отклонения относительно частоты m / n от постоянной вероятности р:
.
Здесь
– функция Лапласа, значения которой
приведены в Приложении 2.
Пример 9. Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью r (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р. Для контроля отбираются n изделий. Найти вероятности следующих событий: А = {ни в одном из изделий не будет обнаружен дефект}; В = {среди n изделий ровно в двух будет обнаружен дефект}; С = {среди n изделий не менее чем в двух будет обнаружен дефект}.
Решение. Вероятность того, что в одном наугад взятом изделии будет обнаружен дефект, равна pr. По формуле Бернулли имеем
;
;
.
Пример 10. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно два вызова?
Решение. За минуту АТС получает в среднем 300 / 60 = 5 вызовов а = np = 5 < 10. Требуется найти Р(2). Применив формулу Пуассона и таблицу значений распределения Пуассона (Приложение 3), получим
.
Пример 11. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5 %. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно три бракованных детали? Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей?
Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью р = 0,005 «успеха», здесь np 10. Применяя формулу Пуассона с а = np = 5, получаем
0,14037,
.
Пример 12. Вероятность появления брака при производстве некоторой детали равна 0,25. Какова вероятность, что в партии из 243 деталей будет ровно 70 бракованных деталей?
Решение. По условию m = 70, n = 243, p = 0,25, q = 0,75. Так как n = 243 – достаточно большое число, np = 243 0,25 = 60,75 > 10, воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа
.
По таблицам функции (х) (Приложение 1) найдем (1,37) = 0,1561. Тогда
.
Пример 13. Какова вероятность, что при 100 бросаниях монеты «герб» появится от 40 до 60 раз?
Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа, где k1 =40, k2 = 60, n = 100, p = q = 1 / 2, np = 50 > 10, тогда
.
Значение функции (х) найдены по таблице Приложения 2.
Пример 14. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой Ох. Средняя дальность полета снаряда равна m. Предполагая, что дальность полета Х распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением = 80 м, найти, какой процент выпускаемых снарядов даст: 1) недолет; 2); перелет; 3) перелет от 120 до 160 м.
Решение. Пусть Х – случайная дальность полета снаряда, тогда при m = 100 см, = 80 см получим
1)
0,5;
2)
;
3)
= 0,4772 – 0,4332 = 0,044.
Таким образом, 4,4 % всех выпускаемых снарядов совершит перелет от 120 до 160 м (результат не зависит от средней дальности полета).
Пример 15.Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.
Решение.
По условию задачи n
= 625; р = 0,8; q = 0,2;
= 0,04. Требуется найти вероятность
.
Воспользуемся формулой (2.4). Тогда
.
Значение Ф(2,5) = 0,4938 нашли по таблице Приложения 2.
Пример 16.В страховой компании застраховано 10 000 автомобилей. Вероятность поломки любого автомобиля равна 0,006. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит 12 у. е. страховых в год и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает 1 000 у. е. Найти: 1) вероятность события А = {по истечении года работы страховая компания получит убыток}; 2) вероятность события В = {по истечении года работы страховая компания получит прибыль не менее 60 000 у. е.}; 3) размер прибыли компании с вероятностью 0,9.
Решение.
Пусть Х – количество поломок
автомобилей в авариях за год. Доход
компании за год составит 10 000
12 = 120 000 (у. е.). Для получения «нулевой»
прибыли в аварии должны попасть
= 120 автомобилей в год.
1) Р(А) = Р(Х > 120) = Р(120 < X < ). По формуле Муавра-Лапласа имеем
Р(А)
= Р(120 < X < )
=
Ф() – Ф(7,77)
0,5 – 0,5 = 0.
2) Для получения прибыли не менее 60 000
у. е. в аварию должны попасть не более
=
60 автомобилей. Тогда Р(В) = Р(Х
< 60) = Р(–
< X < 60). По формуле
Муавра-Лапласа имеем
Р(В)
= Р(–
< X < 60) =
=
= Ф(0) + 0,5 = 0,5.
3) Для нахождения размера прибыли компании с вероятностью 0,9 нужно решить уравнение
Р(k < X < 120) = 0,9,
где k – нижняя граница количества аварий в год для получения прибыли с вероятностью 0,9.
Р(k
< X < 120)
=
0,9;
=
0,9;
Ф(7,77)
=
0,9
=
–0,4.
По таблице
Приложения 2 находим
.
Откуда
k = 60 – 7,72 1,27 = 50,2.
Доход компании в год при этих условиях составит
120 000 – 50 1 000 = 70 000 (у. е).