. Вычисление статистических моментов

Среди множества числовых характеристик изображений, рассматриваемых как реализации случайного поля, выделим несколько наиболее употребительных. Это математическое ожидание (среднее), среднеквадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса, энтропия, значения минимального и максимального элементов анализируемого поля и размах (диапазон уровней). Подчеркнем, что здесь и далее речь идет об оценках соответствующих характеристик.          Определение статистических характеристик начнем с вычисления начальных и центральных моментов. Момент, рассматриваемый относительно начала координат, называется начальным, а относительно математического ожидания – центральным.          В теории вероятностей начальные моменты mk k-го порядка вычисляются по общей формуле , (4.1) где   xi – некоторое значение дискретной случайной величины X;          pi = P{X = xi} – вероятность, с которой случайная величина X принимает значение xi.          Математическая статистика оперирует с оценками указанных моментов. Применительно к анализу изображения   размером N´N элементов соответствующая формула приобретает вид: .                           (4.2)          В терминах математической статистики множество пикселей, составляющих изображение, являются выборкой. Количество использованных для анализа пикселей будем называть объемом выборки (здесь – Ni×Nj).          Начальный момент первого порядка m1 называется математическим ожиданием или средним; начальный момент второго порядка m2 – средним квадрантом; моменты третьего и четвертого порядков используются для вычисления описанных ниже коэффициентов асимметрии и эксцесса.          Отметим, что статистический анализ (вычисление моментов, формирование гистограмм и т.п.) может быть выполнен не только для изображения в целом, но и для любого заданного фрагмента. Существуют и более изощренные приемы. Так, в ряде случаев используется так называемый “анализ по маске”, когда обрабатываются элементы поля, образующие заданную маской конфигурацию. Анализ по маске позволяет определять статистические свойства отдельных объектов изображения, выделенных известными методами, а также произвольно заданных областей. Его программная реализация не встречает серьезных затруднений. Учитывая сказанное, перепишем выражение (4.2), не указывая явно границы суммирования: ,                            (4.3) где   sum – количество обработанных пикселей исходного изображения.

Билет 7

1. Статистические моменты в задаче оптимизации.

Билет 3

2.Модель постановки проблемы.

Моделирование представляет собой циклический процесс,т.е. за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а первоначально построенная модель постепенно совершенствуется. Теперь перейдем к процессу экономико-математического моделирования, т.е. описания экономических и социальных систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Выделим и рассмотрим подробно шесть этапов:

1.Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ.

На этом этапе нужно сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.

2.Построение математической модели.

Это этап формализации экономической проблемы, т.е выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). Построение модели подразделяется на несколько стадий. Сначала определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма связей. Для некоторых сложных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных моделей; при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитываются приближенно. Оправдано стремление построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что может потребовать некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация приводит к неизвестной ранее математической структуре.

3. Математический анализ модели.

На этом этапе чисто математическими

приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В

частности, важным моментом является доказательство существования решения

сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется,

единственно ли решение, какие переменные могут входить в решение, в

каких пределах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д.

Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются

аналитическому исследованию; в таких случаях переходят к численным

методам исследования.

4.Подготовка исходной информации.

В экономических задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап моделирования, так как дело не сводится к пассивному сбору данных. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиальную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других.]

5.Численное решение.

Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов; при этом значительные трудности вызываются большой размерностью экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят многовариантный характер. Многочисленные модельные эксперименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для многих моделей являестя единственно возможным.