Задание № 3 Законы Бернулли и Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Нормальный закон распределения
а). На предприятии работает 1400 сотрудников. Найти вероятность того, что 1 апреля является днем рождения: 1) двух сотрудников; 2) не менее двух сотрудников.
б). Вероятность неточной сборки узла механизма р = 0,05. Найти вероятность того, что среди 300 узлов окажутся от 260 до 290 узлов с неточной сборкой.
в). Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7 (для каждой ценной бумаги). Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы с вероятностью 0,996 можно было утверждать, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
а). Вероятность изготовления нестандартного изделия при массовом производстве равна 0,001. Найти вероятность того, что в партии из 2000 изделий окажется: 1) 3 нестандартных изделия; 2) менее 1998 стандартных.
б). Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью. 0,9545 границы, в которых заключена доля стандартных среди проверенных 900 деталей.
в). В среднем 87 % изделий, выпускаемых предприятием, не имеют дефектов. Найти вероятность того, что из 1000 изделий доля (частость) изделий, не имеющих дефектов, будет: 1) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; 2) будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).
а). Производственная компания изготавливает продукцию крупными партиями. В среднем 10 % изделий получаются с дефектом. Из каждой партии случайным образом выбирается 20 изделий. Партия принимается, если выборка содержит не более трех дефектных изделий. Какова вероятность того, что партия будет принята?
б). Вероятность рождения мальчика в среднем составляет 0,515. Найти вероятность того, что число мальчиков среди 1000 новорожденных больше 480, но меньше 540.
в). Размер диаметра детали задан полем допуска 20…25 мм. В некоторой партии деталей средний размер их диаметра оказался равным 23,2 мм, а среднее квадратическое отклонение 1 мм. Считая, что диаметр детали подчинен нормальному закону распределения, вычислить вероятность брака в этой партии.
а). Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать доход владельцу с вероятностью 0,5 (для каждого пакета). Сколько пакетов акций нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,97, можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету?
б). С конвейера сходит в среднем 90 % изделий высшего сорта. Какова вероятность того, что среди 1500 изделий, сошедших с конвейера, изделий высшего сорта окажется не менее 1200?
в). Цемент расфасовывается в мешки с помощью автомата. Вес мешка есть нормально распределенная случайная величина, среднее квадратическое отклонение которой равно σ = 1 кг. Вероятность того, что вес мешка превысит 51 кг, равна 0,1587. Найти средний вес мешка.
а). В среднем по 15 % договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: 1) три договора; 2) менее двух договоров.
б). Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 500 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
в). Текущая цена акции имеет нормальный закон распределения. В течение последнего года 20 % рабочих дней она была ниже 88 р., а 75 % – выше 90 р. Найти: а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены акции; б) вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 83 до 96 р.
а). Предполагается, что 10 % открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из шести малых предприятий в течение года прекратят свою деятельность 1) не более двух; 2) более трех?
б). Автопарк насчитывает 130 машин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автопарка, если для этого необходимо иметь не менее 100 исправных машин.
в). Случайное отклонение размера детали от проектного подчинено нормальному закону с математическим ожиданием m = 0 и средним квадратическим отклонением σ = 5. Каково допустимое отклонение размера детали от проектного, если известно, что бракованными признаются 5 % деталей?
а). Устройство состоит из шести независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов за смену одинаковы и равны p = 0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из шести.
б). В партии из 1000 изделий имеется 8 бракованных. Из этой партии выбирается наудачу 100 изделий. Какова вероятность, что среди выбранных изделий: 1) нет брака; 2) точно одно бракованное изделие; 3) точно два бракованных изделия.
в). Продукция фабрики упаковывается в коробки автоматами. Средняя масса коробки 1,06 кг. Известно, что 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Какова вероятность того, что из трех наудачу взятых коробок две будут иметь массу меньше 940 г.
а). Инвестор вложил поровну средства в пять предприятий при условии возврата ему через определенный срок 125 % от вложенной суммы. Вероятность банкротства каждого из предприятий равна 0,3. Какова вероятность того, что по истечении срока инвестор останется в убытке?
б). Вероятность нарушения герметичности банки консервов равна 0,001. Найти вероятность того, что среди 1000 банок окажутся с нарушениями герметичности: 1) одна банка; 2) две банки; 3) не менее двух банок.
в). Месячный доход семей можно рассматривать как случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием М(Х) = 4000 р. и средним квадратическим отклонением σ(Х) = 800 р. Какова вероятность того, что из трех семей по крайней мере две имеют месячный доход более 3000 р.?
а). В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 8 пакетов акций по первоначально заявленной цене будут проданы: 1) не менее трех; 2) от двух до четырех включительно.
б). Установлено, что практически пятая часть банков имеет уставный фонд свыше 100 миллионов рублей. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставный фонд свыше 100 миллионов рублей от 300 до 400 банков.
в). Среднее число звонков, поступающих в справочную службу вокзала в течение определенного часа, равно 100. Найти вероятность того, что поступит более 110 вызовов, если известно, что вероятность поступления менее 75 вызовов равно 0,1056. Число вызовов, поступающих в справочную службу вокзала в течение определенного часа, подчинено нормальному закону.
а). Вероятность того, что в течение года малое предприятие станет банкротом, равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти малых предприятий в течение года банкротом станут: 1) не менее двух; 2) от двух до четырех включительно.
б). Учебник издан тиражом 5000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,001. Найти вероятность того, что: 1) тираж содержит 5 бракованных книг; 2) не менее двух бракованных книг.
в). Цена акций, входящих в некоторый пакет, имеет нормальный закон распределения. 25 % акций оцениваются ниже 10 р., а 15 % – выше 15 р. Найти среднюю стоимость акций, входящих в пакет, и среднее квадратическое отклонение стоимости акций.
а). В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: 1) три ошибочно укомплектованных пакета; 2) не более трех ошибочно укомплектованных пакетов.
б). Было установлено, что при контроле продукции обычно бракуется 5 % изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных для контроля 500 изделий не менее 450 и не более 475 стандартных изделий.
в). Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m = 0 и = 1. Что больше Р(–0,5 Х < –0,1) или Р(1 Х 2)?
а). Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
б). Вероятность выздоровления больного в результате применения нового метода лечения равна 0,7. Какова вероятность выздоровления в этом случае от 70 до 80 из 100 больных?
в). Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,8. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что не менее 75 опытов дадут положительный результат?
а). На базу отправлено 10 000 изделий. Вероятность того, что изделие будет повреждено в пути, равна 0,0003. Найти вероятность того, что на базу прибудет: 1) три поврежденных изделия; 2) более трех поврежденных изделий.
б). Строительная фирма раскладывает рекламные проспекты по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 тысяч проспектов число заказов будет: 1) равно 48; 2) находиться в границах от 45 до 55; 3) не менее 50.
в). Вероятность рождения мальчика р = 0,512. Найти вероятность того, что разница между количеством мальчиков и количеством девочек из 100 новорожденных не превысит 10.
а). Что вероятнее, выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): 1) четыре партии из шести или пять из восьми; 2) не менее трех партий из четырех или не менее пяти из восьми.
б). Найти вероятность того, что среди 300 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1 %.
в). Вес груза одного вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием m = 65 т и средним квадратическим отклонением σ = 2 т. Какова вероятность того, что вес состава из 36 вагонов не превысит 2360 т?
а). Вероятность того, что изделие, имеющее дефект, пройдет входной контроль, равна 0,002. Найти вероятность того, что из партии, содержащей 500 дефектных изделий, входной контроль пройдут: 1) 2 дефектных изделия; 2) более 2 дефектных изделия.
б). Всхожесть семян растения составляет 95 %. Найти вероятность того, что из 200 посеянных семян этого растения взойдет не менее 170.
в). Текущая цена акции имеет нормальный закон распределения со средним квадратическим отклонением σ = 10 ден. ед. В течение последнего года 16 % рабочих дней она была ниже 90 ден. ед. Требуется: 1) найти математическое ожидание цены акции; 2) с надежность 0,95 определить максимальное отклонение цены акции от среднего (прогнозного) значения (по абсолютной величине).
а). Телефонный кабель состоит из 400 пар. Вероятность того, что пара повреждена, равна 0,0125. С какой вероятностью этим кабелем можно подключить к телефонной сети 395 абонентов, если для подключения каждого абонента нужна одна пара.
б). С фабрики на базу отправлены 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредиться, равна 0,02. Найти вероятность того, что на базу прибудут: 1) три негодных изделия; 2) не более трех негодных изделия?
в). Производится взвешивание некоторого вещества без систематических погрешностей. Случайные погрешности взвешивания подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
а). В семье 10 детей. Считая вероятности рождений мальчика и девочки равными ½, найти вероятность того, что в семье: 1) 5 мальчиков и 5 девочек; 2) число мальчиков от 3 до 8.
б). Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700, если вероятность того, что отдельное изделие будет высшего сорта, равна 0,8.
в). Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m = 2 и = 3. Записать формулу плотности распределения этой случайной величины, а также вычислить вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, отличающееся по абсолютной величине от математического ожидания на величину, большую двух.
а). В страховой компании от несчастного случая застраховано 10000 человек. Вероятность несчастного случая равна 0,0004. При возникновении несчастного случая клиенту компании выплачивается страховая сумма. Найти вероятность того, что страховую сумму придется выплатить: 1) 4 клиентам; 2) менее, чем 2 клиентам.
б). Посажено 400 деревьев. Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250, если вероятность того, что отдельное дерево приживется, равна 0,8.
в). Длина изготовляемой детали
представляет собой случайную величину
Х, распределенную по нормальному
закону с параметрами
=
9 см,
=
0,3 см. Найти вероятность брака, если
допустимые размеры детали должны быть
9
0,5
см.
а). Пару игральных костей бросают 8 раз. Найти: 1) вероятность выпадения 7 очков ровно 4 раза; 2) вероятность выпадения 11 очков в двух испытаниях; 3) вероятность того, что сумма 12 очков выпадет более одного раза.
б). При изготовлении продукции определенного вида вероятность появления нестандартного изделия в среднем составляет 0,01. Какова вероятность того, что в партии из 100 изделий этой продукции не более двух изделий будут нестандартными. Чему равна вероятность нестандартности одного изделия?
в). Для случайной величины Х,
распределенной по нормальному закону
с параметром
=
15 и
= 0.8, найти
а). 30 % изделия данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность, что 4 из них – высшего сорта. Найти вероятность того, что изделий высшего сорта – не менее двух.
б). Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити в течение 10 минут равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение 10 минут обрыв произойдет: 1) в трех веретенах; 2) не произойдет ни в одном веретене.
в). Случайная величина Х
распределена нормально с математическим
ожиданием равным 20.
.
Найти
.
а). Полиграфическая фирма издала рекламные проспекты тиражом 1000 экземпляров. Вероятность того, что отдельный экземпляр проспекта окажется бракованным, равна 0,002. Найти вероятность того, что: 1) тираж содержит 2 бракованных проспекта; 2) по крайней мере 998 проспектов не будут иметь дефектов.
б). (Парадокс «гербов» и «решек») При игре в «гербы» и «решки» бросили монету 100 раз. Подсчитать вероятности следующих событий: 1) A = {выпало ровно 50 «гербов»}; 2) B = {выпало по крайней мере 60 «гербов»}; 3) C = {выпало по крайней мере 55 «гербов»}.
в). ОТК проверяет качество наудачу отобранных 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартная, равна 0,9. Случайная величина – число стандартных деталей в партии. Найти наименьший интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью, не меньшей 0,9544, будет заключено число стандартных деталей.
а). Вероятность появления в производстве бракованной детали равна 0,005. Как велика вероятность того, что среди 10000 деталей окажутся бракованными: 1) 50 деталей; 2) 100 деталей?
б). У страховой компании 10 тысяч клиентов, застраховавших свою недвижимость. Средний страховой взнос составляет 2 тыс. р., вероятность несчастного случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р. Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью 0,9.
в). Сколько испытаний необходимо провести, чтобы вероятность того, что отклонение частоты появления некоторого события от его вероятности р = 3 / 8 в ту или другую сторону будет меньше, чем 0,01, была бы равна 0,995?
3.23. а). Предполагая, что число мужчин и женщин в городе одинакова, определить вероятность того, что среди 100 случайно прохожих окажутся: 1) 40 женщин; 2) 50 женщин.
б). При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставный фонд свыше 100 млн. р. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставный фонд свыше 100 млн. р.: 1) не менее 300; 2) от 300 до 400 включительно.
в). На одном из факультетов академии 40 % всех студентов учатся на коммерческой основе. Каково наиболее вероятное число коммерческих студентов среди 250 студентов второго курса и какова вероятность такого числа студентов?
3.24. а). Устройство состоит из восьми независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов за смену одинаковы и равны p = 0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из восьми.
б). В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110 % от этой суммы. Вероятность невозврата кредита в среднем составляет р = 0,05. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью 0,8?
в). Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контрольного размера от номинала не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от номинала подчиняются нормальному закону с параметрами m = 0 и = 5 мм. Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 среди них оказалась хотя бы одна бракованная?
а). Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность поражения мишени при 100 выстрелах: 1) 50 раз; 2) 60 раз.
б). Вероятность для любого абонента позвонить на коммутатор в течение часа равна 0,02. Телефонная станция обслуживает 250 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят: 1) один абонент; 2) три абонента?
в). В нормально распределенной совокупности 15 % значений случайной величины меньше 12, а 40 % значений больнее 16,2. Найти параметры данного распределения.
а). Аппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента за время t равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и не менее двух элементов за рассматриваемый промежуток времени?
б). Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 43 размера, равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 1000 покупателей таких будет от 250 до 350 включительно.
в). Слесарь высокого разряда изготавливает деталь отличного качества с вероятностью 0,6. За смену он изготовил 500 деталей. Какова вероятность того, что среди них 310 отличного качества?
а). Для футболиста, выполняющего пенальти, вероятность забить гол составляет 50 %. Какова вероятность того, что при выполнении 7 ударов он: 1) забьет три гола, 2) сделает не больше двух промахов.
б). Установлено, что в среднем 0,5 % шариков, изготовленных для подшипников, оказываются бракованными. Определить вероятность того, что среди поступивших на контроль 1000 шариков бракованными окажутся менее трех.
в). Вес сахара, упакованного автоматом в мешок, есть случайная нормально распределенная величина с математическим ожиданием m = 5 и средним квадратическим отклонением = 0,4 кг. Найти вероятность того, что партия из 100 мешков будет содержать не более 2560 кг и не менее 2490 кг сахара.
а). Три приятеля в один день купили по цветному телевизору. Вероятность того, что телевизор не выйдет из строя за t лет, равна 0,4. Какова вероятность того, что через t лет хотя бы у двух приятелей будут работающие телевизоры.
б). Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,005. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность: 1) 4 сбоев; 2) не более 4–х сбоев.
в). На кондитерской фабрике конфеты автоматически расфасовываются в целлофановые пакеты. Вес пакета – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 500 г. Найти величину стандартного отклонения, если известно, что 10 % пакетов имеют вес больше 520 г.
а). Вероятность перегрузки прибора в одном опыте равна 0,2. Найти вероятность того, что в 7 опыте будет: 1) 2 отказа; 2) не менее 3 отказов.
б). По данным технического контроля в среднем 5 % изготовленных на предприятии приборов нуждаются в дополнительной регулировке. Какова вероятность того, что из 400 изготовленных приборов будут нуждаться в дополнительной регулировке: 1) 20 приборов; 2) 30 приборов?
в). Диаметр детали, изготовляемой цехом, подчинен нормальному закону с математическим ожиданием 82,6 мм и средним квадратическим отклонением 1,2 мм. Найти поле допуска для диаметра детали, если известно, что брак составляет 1,24 %.
а). Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке равна 0,6. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 50 деталей половина окажется отличного качества.
б). Вероятность выхода из строя электродвигателя локомотива в течение дня в среднем составляет 0,05. Какова вероятность того, что в определенный день окажутся неисправными менее трех локомотивов, если в депо 100 локомотивов?
в). Рост студента-второкурсника является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами m = 175 см и средним квадратическим отклонением = 6 см. Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых студентов двое будут иметь рост больше 180 см.