Методические указания

1. Алгебра событий

Перестановки (множество n элементов отличающихся только порядком):

Сочетания из n элементов по m (множество элементов, составленные из n различных элементов по m, которые отличаются хотя бы одним элементом): , .

Размещения (множество элементов, составленные из n различных элементов по m, которые отличаются либо составом, либо порядком):

.

Гипергеометрическая вероятность: .

Формула сложения вероятностей:

.

Формула умножения вероятностей:

.

Для независимых событий .

По крайней мере одно из независимых событий произойдет: .

Формула полной вероятности: .

Формула Байеса: . .

 Пример 1. В урне содержится 5 белых и 6 черных шаров. Из урны случайно вынимаются 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Общее число исходов . Число благоприятных исходов . Вероятность события А = {оба шара белые} равна Р(А) = . 

 Пример 2. По мишени производится 3 выстрела. Пусть А_i = {попадание при i-ом выстреле, }. Представить в виде сумм, произведений или сумм произведений и следующие события: А = {все три попадания}; В = {все три промаха}; С = {хотя бы одно попадание}; D = {хотя бы один промах}; Е = {не меньше двух попаданий}; F = {не больше одного попадания}; G = {попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле}.

Решение. Данные события можно представить в виде следующих комбинаций: 1) ; 2) ; 3) + A₂ + A₃ или или ; 4) D = ; 5) E = + или E = ; 6) F = + или + ; 7) .

 Пример 3. На первом курсе некоторого института 28 % студентов не сдали экзамен по высшей математике, 25 % – по физике и 20 % – по истории. Кроме того, 11 % студентов не сдали и математику, и физику, 3 % – математику и историю, и 2 % – физику и историю. 42 % студентов сдали все эти экзамены. Чему равен процент студентов, которые не сдали одновременно математику, физику и историю?

Решение. Пусть А = {наудачу выбранный студент не сдал математику}, В = {наудачу выбранный студент не сдал физику}, С = {наудачу выбранный студент не сдал историю}. Тогда Р(АВ) = 0,11, Р(АС) = 0,03, Р(ВС) = 0,02. Р(А + В + С) = 1 – 0,42 = 0,58. По формуле сложения вероятностей имеем Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС)  Р(АВС) = 0,58 – 0,28 – 0,25 – 0,2 + 0,11 +0,03 + 0,02 = 0,01. 

 Пример 4. Группа студентов состоит из а отличников, b хорошо успевающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

Решение. Гипотезы: Н₁ = {вызван отличный студент}; Н₂ = {вызван хороший студент}; Н₃ = {вызван слабый студент};

Искомая вероятность равна



 Пример 5. В первой урне 2 голубых и 6 красных шаров, во второй – 4 голубых и 2 красных. Из первой урны наудачу переложили два шара во второй, после чего из второй урны наудачу достали 1 шар. Какова вероятность, что этот шар голубой? Предположим, что шар, взятый из второй урны, оказался голубым. Какова вероятность того, что из первой урны были переложены два голубых шара?

Решение. А = {шар, извлеченный из второй урны, голубой}. Н₁ = {из первой во вторую урну переложили 2 голубых шара}, Н₂ = {из первой во вторую урну переложили 2 разноцветных шара}, Н₃ = {из первой во вторую урну переложили 2 красных шара}. Р(Н₁) =

а). По формуле полной вероятности

б) По формуле Байеса . 

 Пример 6. Прибор состоит из двух последовательных узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени Т) первого узла равна 0,9, второго – 0,8. За время Т испытания прибора зарегистрирован отказ прибора. Найти вероятность событий: а) отказал только первый узел; б) отказали оба узла.

Решение. Пусть А = {прибор отказал}, В_i = {надежность i-ого узла}. Н₁ = {отказал первый узел, второй работает}, Н₂ = {отказал второй узел, первый работает}, Н₃ = {оба узла отказали}, Н₃ = {ни один узел не отказал}.

Тогда Р(Н₁) = Р( ) = 0,10,8 = 0,08; Р(Н₂) = Р( ) = 0,90,2 = 0,018; Р(Н₃) = Р( ) = 0,10,2 = 0,02; Р(Н₄) = Р( )= 0,90,8 = 0,72; = = = 1, = 0.

По формуле Байеса имеем

а) ;

б) . 