9. Теорема умножения вероятностей

Опыт повторяется n раз, m_B раз наступает событие В, m_АВ раз наряду с событием В наступает событие А. n(B) = m_B/n ; n(AB) = m_AB/n

Рассмотрим относительную частоту наступления события А, когда событие В уже наступило: n(A/B)=m_AB/m_B=m_AB/nm_AB/n= n(AB)/n(B)

P(A/B)=P(AB)/P(B)- условная вероятность события А по событию В – вероятность события А, когда событие В уже наступило.

10. Независимые события

События А и В называются независимыми, если появление или непоявление одного из них не сказывается на появлении другого.P(A/B)=P(A); P(A/B)=P(B)- критерий независимости событий

События А и В называются независимыми тогда, когда Р(АВ) = Р(А)*Р(В)

Пример. В урне есть 4 белых и 6 черных шаров. Половина из них имеют фирменную маркировку. Пусть среди шаров с маркировкой: а) 2 белых; в) 3 белых шара. Наугад вынимают шар. Выяснить независимость событий.

Рассматриваем события: А{белый шар} и В{шар с маркировкой}. Независимость выясняем по критерию:

Р(А)=4/10=0,4 Р(В)=10/2=0,5 Р(А)*Р(В) = 0,2

а) Р(АВ) = 2/10 = 0,2 в) Р(АВ) = 3/10 = 0,3

Ответ: в случае а) события независимы, т.к. признаки распределены равномерно среди всей совокупности (т.к. доля шаров с маркировкой = половине всех шаров и доля белых шаров с маркировкой = половине всех белых).

Свойства независимых событий.Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и I, А и Ī, Ā и I, Ā и Ī

Если события Н₁, Н₂, …Н_n независимы, то заменяя любые из них на противоположные, вновь получаем независимые события.