29. Нормальное распределение

ξ имеет нормальное распределение с параметрами а и σ² , где а  R, σ>0, и пишут ξ если ξ имеет следующую плотность распределения: f_ξ(x)= λ^{(x-a)²/2²}/2П для любого x  R

Убедимся, что f_ξ(x)действительно является плотностью распределения. Так как f_ξ(x) > 0 для всех x  R, то свойство (f1) выполнено. Проверим выполнение (f2). Используем табличный интеграл (интеграл Пуассона) _-^ λ^-x²/2dx=2П

Нормальное играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.

Свойства нормального распределения

1. Нормальное распределение задается, как мы видим, с помощью плотности распределения. Связано это с тем, что нельзя выписать первообразную от функции λ^x² иначе как в виде интеграла, поэтому функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде: F_ξ (x)=Ф_a,²(x)= _-^x λ^{-(t-a)²/2²dt}/2П

2. Для любого x  R справедливо соотношение

Ф_a,²(x)= Ф_0,1(x-a/)

Следствие Если ξ N_a,² то = ξ-a/N_0,1

Свойство Ф_0,1(0) = 0,5; Ф_0,1(-х) = 1 - Ф_0,1(х); Если ξ  N_0,1, то P(ξ <x)=1-2 Ф_0,1(-х)=2 Ф_0,1(х) - 1

30. Функция одной случайного аргумента

Пусть с. в. ξ имеет функцию распределения F_ξ(x) и плотность распределения f_ξ(x). Построим с помощью функции g: R  R случайную величину η= g(ξ). Требуется найти функцию распределения и, если существует, плотность распределения η.

Замечание. Плотность распределения случайной величины η= g(ξ) существует далеко не при любых функциях g. Так, если функция g кусочно-постоянна, то с. в. η имеет дискретное распределение, и плотность ее распределения не существует.

Плотность распределения g(ξ) заведомо существует, если, например, функция g(ξ) монотонна («строго монотонна»). Вспомним, что означает «найти плотность распределения η, если она существует».

По определению, если мы представим (для любого х) функцию распределения η в виде F_η(x)=_-^x h(y)dy где подинтегральная функция h(y) неотрицательна, то плотность распределения с.в. η существует и в точности равна подинтегральной функции f_ξ(x) = h(x)

Так что доказывать существование плотности распределения и находить ее мы будем одновременно, находя нужное интегральное представление для функции распределения.

Теорема Пусть ξ имеет функцию распределения F_ξ(x) и плотность распределения f_ξ(x) , и постоянная a отлична от нуля. Тогда случайная величина η = a ξ + b имеет плотность распределения f_η(x)=1/a f_ξ(x-b/a)

Следствие. Если ξ  N_0,1, то η = σξ+а  N_a,²

Если η  , то ξ = (η –а)/ σ  N_0,1.

Если ξ  Е_α, то η = αξ Е₁

31.Функции от двух случайных аргументов

Пусть ξ₁ ξ₂ — случайные величины с плотностью совместного распределения f _{ξ1 ξ2} (x₁,x₂), и задана функция g : R²  R. Требуется найти функцию (а если существует, то и плотность) распределения случайной величины η = g(ξ₁ , ξ₂).

Теорема. Пусть х R, и область D_x  R² состоит из точек (x₁ x₂ ) таких, что g (x₁ x₂ ) < x. Тогда случайная величина η = g(ξ₁ , ξ₂). имеет функцию распределения F_η(x)=P(g(ξ₁ ξ₂)<x)=P((ξ₁ ξ₂)D_x)=_D f _{ξ1 ξ2} (x₁,x₂)dx₁dx₂ ; f _{ξ1 ξ2} (x₁,x₂) f _ξ1(x₁ )*f _ξ2(x₂)