2.4. Проверка гипотезы о принадлежности опытных данных к показательному закону распределения

Показательное распределение находит широкое применение при решении экономических и технических задач, связанных с исследованием эффективности функционирования автомобильно-дорожных средств и систем.

Примерами величин, распределенных по показательному закону, в теории массового обслуживания являются продолжитель­ность интервала между последовательными прибытиями двух тран­спортных средств в пункты погрузки - разгрузки или на станцию технического обслуживания; продолжительность этапов ожидания погрузки - разгрузки; время, расходуемое на техническое обслу­живание и ремонт автомобилей и т.д.

В теории надежности математической моделью возникновения показательного закона являются такие условия, когда единичные повреждения приводят к внезапному отказу изделия. Подобные условия возникают при превышении нагрузки, например, при ударе, приводящем к поломке изделия, или при превышении эле­ктрического напряжения, приводящего к перегоранию конденсато­ра или транзистора и т.д.

Плотность распределения показательного закона определя­ется зависимостью

(2.8)

где t - случайная величина, например, время или длина пробега изделия до выхода его из строя;

М^*(t) - статистическое математическое ожидание;

- параметр закона, представляющий собой интенсивность событий в единицу времени. Характерными признаками показательного закона являются:

равенство математического ожидания и среднего квадратического отклонения

M(t) = σ (t). (2.9)

Вследствие этого число связей S для показательного закона уменьшается на единицу и равно двум;

постоянство интенсивности числа появлений событий в единицу времени

μ = const

Покажем на примере порядок проверки гипотезы о принад­лежности опытных данных к показательному закону. Исследуется один из этапов транспортного процесса - время продолжитель­ности ожидания погрузки. Всего было зафиксировано N = 75 наблюдений. Максимальное зарегистрированное значение времени ожидания погрузки равно 16,5 мин, минимальное - 2 мин. На данном примере исследуем все этапы статистической обработки экспериментальных данных.

1. Используя формулу Стерджеса [8], находим прибли­женную ширину интервала

За величину ширины интервала принимаем Δt = 2 мин. Тогда гистограмма будет иметь 8 интервалов.

2. Используя методику, изложенную в 1.2, определяем статистические поинтервальные частоты и частости попаданий случайной величины в интервалы. Все результаты расчетов заносим в табл. 2.3. На основании полученных данных строим гистограмму распределения (рис.2.4).

3. Вычисляем статистическое математическое ожидание времени погрузки

Находим статистическую дисперсию

Определяем статистическое среднее квадратическое отклонение

Как видим, среднее квадратическое отклонение одного порядка с математическим ожиданием, но для более строгой проверки гипотезы о принадлежности опытных данных к показательному закону распределения применим статистический критерий χ² - квадрат Пирсона.

4. Находим интенсивность поступления заявок в единицу времени

Согласно предложенной гипотезе распределение времени ожида­ния погрузки описывается следующим показательным законом:

5. Теоретические вероятности попадания случайной вели­чины в интервалы определяем по формуле

(2.10)

Таблица 2.3

Статистическая обработка экспериментальных данных - времени ожидания погрузки

Номер разря­да	Границы интерва­лов времени ожидания (αi - βi), мин	Сере­дины интер­валов tci, мин	Опыт­ные часто­ты	Опыт­ные часто­сти	Теорети­ческие вероятно­сти Pi ус	Исправ­ленные вероятности Pi испр	Теоре­тичес­кие числа попада­ния в интер­валы	Слагае­мые критерия Пирсона
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1-3	2	26	0,347	0,239	0,303	22,7	0,49
2	3-5	4	13	0,173	0,171	0,218	16,3	0,67
3	5-7	6	9	0,120	0,123	0,156	11,7	0,62
4	7-9	8	9	0,120	0,089	0,113	8,5	0,03
5	9 - 11	10	6	0,080	0,064	0,081	6,1	0
б	11 - 13	12	6	0,080	0,045	0,057	4,3	0,67
7	13 - 15	14	3	0,040	0,033	0,042	3,1	0
8	15 - 17	16	3	0,040	0,239	0,303	22,7	0,49
Итоговая строка			= =100	==1,0	=0,788	= =1,0	= =75	χ2 =2,68

Методика и результаты расчетов вероятностей даны в вспомога­тельной табл. 2.4. Отметим, что использование микрокальку­лятора в значительной степени облегчает выполнение расчетов.

Таблица 2.4.

γi	1	3	5	7	9	11	13	15	17
	0,848	0,609	0,438	0,315	0,226	0,162	0,117	0,084	0,060
Pi ус	0,239	0,171	0,123	0,089	0,064	0,045	0,033	0,024

При этом сумма вероятностей составляет

0,239+0,171+0,123+0,089+0,064+0,045+0,033+0,024 = 0,788. Так как сумма вероятностей отлична от единицы, то имеет место усеченное распределение. Возникает необходимость нор­мирования плотности распределения умножением её на коэффици­ент усечения К_н.

(2.11)

Вычисляем исправленные значения вероятностей

P_{i испр} = К_н P_{i ус}; (2.12)

P_{1 испр} = 1,269 ∙ 0,239 =0,303;

P_{2 испр} = 1,269 ∙ 0,171 =0,218.

Аналогично для всех остальных интервалов (см.столбец 9 табл. 2.3).

На основании этих данных наносим на гистограмму сглаживающую её теоретическую кривую усеченного показательного закона.

Рис. 2.4. Гистограмма распределения времени ожидания погрузки (1) и выравнивающая её теоретическая кривая показательного закона(2)

6. Вычисляем теоретические числа попадания случайной величины в интервалы

m_i = P_{i испр} N.

Получаем m₁ = 0,303 ∙ 75 = 22,7; m₂ =0,218 ∙ 75 = 16,3 и т.д.

7. Вычисляем слагаемые критерия Пирсона (см. столбец 9 табл. 2.3). Суммируя эти значения, получаем χ² = 2,68.

8. Проверяем правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к показательному закону с помощью критерия Пирсона. Для рассматриваемого примера число степеней сво­боды К = n - S = 8 - 2 = 6 и заданный уровень значи­мости α = 0,05.

По табл. V приложения и используя линейную интерполяцию, находим

Р (χ², К) = Р (2,68; 6) = 0,844 > 0,05.50

Следовательно, по критерию Пирсона гипотеза о принадлежности опытных данных к показательному закону подтверждается.

9. Проверяем правдоподобность принятой гипотезы с помощью критерия Романовского

Как видим, и по критерию Романовского гипотеза о принадлежно­сти опытных данных к показательному закону не отвергается.

10. Найдем доверительный интервал разброса среднего результата с надежностью γ = 0,95.

При N = 75 > 25 t_γ = 1,96.

Точность оценки

Следовательно, среднее время ожидания погрузки находится в пределах

M*(t) - Δ < M(t) < M(t) + Δ, т.е.

6,05 - 0,95 < M(t) < 6,05 + 0,95, или

5,1 < M(t) < 7.

При организации транспортного процесса, как правило, учиты­вают верхнюю границу доверительного интервала.