2.9. Статистическая проверка гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Эрланга
Как отмечалось в предыдущем параграфе, распределение Эрланга получается из гамма-распределения при α целом положительном.
Плотность распределения Эрланга определяется зависимостью
(2.29)
где t - случайная величина;
К = α - 1 - параметр, численно равный числу складываемых показательных законов;
λ - параметр, численно равный интенсивности числа появлений событий каждого из складываемых показательных законов. Распределение Эрланга находит самое широкое применение в теории транспортных процессов и систем [3]. Так при погрузке вязких грузов (растворы, бетонная смесь и т.д.) закономерность распределения продолжительности элемента погрузки описывается законом Эрланга, продолжительность элемента оформления документов также хорошо поддается описанию распределением Эрланга и т.д.
Первоначально порядок проверки гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Эрланга тот же, что и для гамма-распределения. Производится группировка данных, определяются поинтервальные частоты и частости попадания случайной величины в интервалы, рассчитываются статистические математическое ожидание и дисперсия. G помощью формул (2.26) находят параметры α и λ гамма-распределения. После этого параметр α округляют до ближайшего целого и находят скорректированное значение параметра λ.
С этого момента, используя данные примера, рассмотренного в предыдущем параграфе, начнем проверку гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Эрланга.
1. Было получено α = 3,153; λ = 0,0736. Округляем α = 3,153 ≈ 3, находим
К = α - 1 = 2.
Следовательно, согласно принятой гипотезе распределение опытных данных описывается законом Эрланга 2 рода
2. Теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы определяются зависимостью
(2.30)
Интегралы типа (2.30) легко берутся с помощью метода интегрирования по частям. Покажем для распределений Эрланга I и 2 рода расчет теоретических вероятностей.
Для К = 1
имеем
Сделаем замену y = - λt и найдем неопределенный интеграл
.
(2.31)
си
Следовательно, делая обратную замену, получаем
Для К = 2 имеем
Делаем замену y = - λt и находим неопределенный интеграл
(2.33)
При взятии интеграла была учтена формула (2.31), Следовательно, делая обратную замену, получаем
(2.34)
Без дополнительных расчетов приведем конечные формулы теоретических вероятностей законов Эрланга 3 и 4 рода. Для К = 3 имеем
(2.35)
Для К = 4 имеем
(2.36)
При К > 4 распределение Эрланга приближается к закону Вейбулла и нормальному распределению, поэтому вопрос о выдвижении гипотезы о принадлежности опытных данных к тому или другому закону должен решаться весьма тщательно с привлечением дополнительной априорной информации.
Для расчетов теоретических вероятностей целесообразно пользоваться методом, предложенным в 2.4. Все результаты вычисление заносят во вспомогательную табл. 2.12. В первую строку которой помещают значения границ интервалов γi. Во вторую строку табл. 2.12 вносят значения функции ψ(γi). В рассматриваемом примере для распределения Эрланга 2 рода
(2.37)
Вычитая из каждого предыдущего значения ψ(γi) последующее ψ(γi+1), получаем искомые теоретические вероятности.
Таблица 2.12
γi |
4 |
16 |
28 |
40 |
52 |
64 |
76 |
88 |
100 |
112 |
||||||||||
ψ(γi) |
0,997 |
0,896 |
0,688 |
0,296 |
0,296 |
0,176 |
0,100 |
0,055 |
0,030 |
0,016 |
||||||||||
Pi |
|
0,101 |
0,208 |
0,219 |
0,173 |
0,120 |
0,076 |
0,045 |
0,025 |
0,014 |
|
|||||||||
Результаты вычислений помещаем в столбец 3 табл. 2.13.
3. Вычисляем теоретические числа попадания случайной величины в интервалы.
m1 = P1 N = 0,101 ∙ 80 = 8,1;
m2 = P2 N = 0,208 ∙ 80 = 16,4 и т.д. (см. столбец 4 табл. 2.13).
Таблица 2.13
Процедура вычисления критерия Пирсона
Номер разряда |
Опытные частоты
|
Опытные частости
|
Теоретические числа попадания в интервалы |
Слагаемые критерия Пирсона
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
8 |
0,101 |
8,1 |
0 |
2 |
17 |
0,208 |
16,4 |
0,02 |
3 |
18 |
0,219 |
17,5 |
0,01 |
4 |
13 |
0,173 |
13,9 |
0,06 |
5 |
10 |
0,120 |
9,6 |
0,02 |
6 |
5 |
0,076 |
6,1 |
0,20 |
7 |
3 |
0,045 |
3,6 |
0,04 |
8 |
4 |
0,025 |
2,0 |
2,0 |
9 |
2 |
0,014 |
1,1 |
0,74 |
Итоговая строка |
=80 |
==1,0 |
|
χ2 = 3,09 |
4. Находим составляющие критерия Пирсона (см. столбец 5 табл.2.13). При этом их сумма
5. Проверяем правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Эрланга 2 рода. По таблице V приложения с - помощью линейной интерполяции находим
Р (χ2; К) = Р (3,09; 6) = 0,796 > 0,05 .
Следовательно, гипотеза о принадлежности опытных данных к распределению Эрланга 2 рода не отвергается.