2.7. Выравнивание экспериментальных данных логарифмически нормальным законом

В практике обработки наблюдений весьма часто бывают случаи, когда исследователь, использовав метод, изложенный в разделе 2.3, убедился, что гипотеза нормальности распределения не может быть принята, но может быть, что с помощью определенных методов удастся так преобразовать исходные данные, что их распределе­ние будет подчиняться нормальному закону.

Логарифмически нормальный закон имеет место тогда, когда не сама случайная величина, а её натуральный логарифм распре­делен по закону Гаусса. Характерным признаком логарифмически нормального закона является то, что его кривая распределения имеет очень крутую левую и пологую правую ветвь. Асимметрия в этом случае положительна, и коэффициент вариации больше, чем 33 %. Для выполнения операции преобразования вся выборка данных расписывается до полного состава и каждое наблюдение трансформируют с помощью логарифмического преобразования

y = lnX. (2.21)

Плотность логарифмически нормального закона имеет вид :

, (2.22)

где x - случайная величина, логарифм которой распределен нормально;

- математическое ожидание логарифма случайной величины;

S (ln x) - среднее квадратическое отклонение логарифма случайной величины.

Покажем на примере порядок проверки гипотезы о принад­лежности опытных данных к логарифмически нормальному закону. Исследуется закон распределения длины пробега тормозных нак­ладок автомобилей семейства ВАЗ. Всего было зафиксировано N = I00 наблюдений. Размах длин пробега тормозных накладок до выхода их из строя составил от Х_min= 5 тыс.км до Х_max = 16 тыс.км. После упорядочения вариационный ряд был сгруппи­рован (при ширине интервала Δx = 1 тыс.км) в 12 интервалов (табл. 2.8.).

Первоначально находят натуральные логарифмы значений середин интервалов и заносят их в столбец 6 табл. 2.8. Дальнейший порядок действий тот же, что и при проверке гипо­тезы о принадлежности опытных данных к нормальному закону.

1. Вычисляем статистическое математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Средний пробег тормозных накладок до выхода из строя

2. Находим несмещенное среднее квадратическое отклонение

3. Теоретические вероятности определяем по формуле

, (2.23)

Все результаты расчетов помещаем в таблицу 2.9, в первую строку которой заносим значения границ интервалов γ_i, во вторую - натуральные логарифмы этих значений. В третью строку таблицы помещаем величины

Таблица 2.8

Статистическая обработка экспериментальных данных - длины пробега тормозных накладок автомобилей семейства ВАЗ

Номер разряда	Границы интерва­лов времени простоя αi - βi, тыс.км	Середины интервалов xci, с	Опыт­­ные часто­ты	Опыт­ные часто­сти	yi=ln xci	Pi ус	Pi испр	Теорети­чес­кие числа попадания в интер­валы	Слагаемые критерия Пирсона
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	4,5-5,5	5	2	0,02	1,609	0,0300	0,031	3,1	0,39
2	5,5-6,5	6	11	0,11	1,792	0,0784	0,081	8,1	1,04
3	6,5-7,5	7	13	0,13	1,946	0,1278	0,131	13,1	0
4	7,5-8,5	8	18	0,18	2,079	0,1553	0,159	15,9	0,28
5	8,5-9,5	9	10	0,10	2,197	0,1543	0,158	15,8	2,13
6	9,5-10,5	10	13	0,13	2,303	0,1329	0,137	13,7	0,04
7	10,5-11,5	11	8	0,08	2,398	0,1032	0,106	10,6	0,64
8	11,5-12,5	12	9	0,09	2,485	0,0744	0,076	7,6	0,26
9	12,5-13,5	13	7	0,07	2,565	0,0507	0,053	5,3	0,55
10	13,5-14,5	14	3	0,03	2,639	0,0329	0,034	3,4	0,05
11	14,5-15,5	15	4	0,04	2,708	0,0208	0,021	2,1	1,72
12	15,5-16,5	16	2	0,02	2,773	0,0129	0,013	1,3	0,38
Итоговая строка			=100	==1,0	=3339	=0,9746	==1,0	=1,0	χ2 = 7,48

Таблица 2.9

γi	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5	10,5	11,5	12,5	13,5	14,5	15,5	16,5
ln γi	1,504	1,705	1,872	2,015	2,140	2,251	2,351	2,442	2,526	2,603	2,674	2,741	2,803
zi	-2,448	-1,784	-1,198	-0,696	-0,257	0,133	0,484	0,803	1,096	1,366	1,616	1,850	2,069
Ф(zi)	-0,4929	-0,4629	-0,3845	-0,2567	-0,1014	0,0529	0,1858	0,2890	0,3634	0,4141	0,4470	0,4678	0,4907
Piус	0,0300	0,0794	0,1278	0,1553	0,1543	0,1329	0,1032	0,0744	0,0507	0,0329	0,0208	0,0129

Пользуясь табл.1 приложения и методом линейной интерполяции, вычисляем значения функции Лапласа. Вычитая из каждого после­дующего значения Ф(z_i+1) предыдущее Ф(z_i), получаем искомые теоретические вероятности.

4. Суммируя значения (см. столбец 9 табл.2.8), получаем

=0,9746

Имеем усеченное распределение, коэффициент усечения

Вычисляем исправленные значения вероятностей

P_{i испр} = К_н P_{i ус}.

Результаты расчетов заносим в столбец 10 табл. 2.8.

5. На основе полученных поинтервальных теоретических вероятностей P_{i испр} производим выравнивание гистограммы опыт­ных данных теоретической кривой логарифмически нормального закона (рис.2.8)

6. Вычисляем теоретические числа попадания случайной величины в интервалы

m_i = P_i N.

Получаем m₁ = 0,031 ∙ 100 = 3,1; m₂ =0,081 ∙ 100 = 8,1. Аналогично для всех остальных разрядов (см. столбец 8 табл.2.5),

7. Определяем слагаемые критерия Пирсона. Суммируя эти значения, находим

χ² = 7,48.

Рис.2.8. Гистограмма распределения частостей попадания длин пробега тормозных накладок (1) и выравнивающая её теоретическая кривая логарифмически нормального закона (2)

8. Проверяем правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к логарифмически нормальному закону с помощью критерия Пирсона. Для рассматриваемого примера число степеней сво­боды К = n - S = 12 - 3 = 9 и заданный уровень значимости α = 0,05.

По табл. V приложения с помощью линейной интерполяции находим

Р(χ²; К) = P(7,48; 9) = 0,581 > 0,05.

Следовательно, по критерию Пирсона гипотеза о принадлежности опытных данных к логарифмически нормальному закону подтверждается.

9. Проверяем правдоподобность принятой гипотезы с помощью критерия Романовского

И по критерию Романовского гипотеза о принадлежности опытных данных к логарифмически нормальному закону не отвергается.

Отметим также, что при трансформации асимметричного распределения к нормальному используют и другие преобразо­вания (II). Таи для смещенного влево распределения (асим­метрия положительная) применяются следующие замены перемен­ных :

обратная величина

обратное значение квадратных корней

Преобразование "обратная величина" является наиболее "сильным". Среднее положение между логарифмическим преобра­зованием и "обратной величиной" занимает преобразование "обратное значение квадратных корней".

Для нормализации смещенного влево распределения (асимметрия отрицательная) служат степенные преобразования y = xⁿ.

При этом для показателя степени принимают значения: a = 1,5 - при умеренном и a = 2 - при сильно выраженном правом смещении.

Следует помнить, что после проведения статистической обработки трансформированных данных надо выполнить и обратное преобразование.