Лінія на поверхні

Нехай Д – елементарна область, і відповідно маємо поверхню

При відображенні області Д у простір, відображаються при цьому і всі точки лінії образи яких утворять на поверхні лінію .

Лінією на поверхні називається топологічний образ лінії з області Д.

Припустимо, що в області Д, задається рівнянням: : (2) – внутрішнє рівняння

(1)

підставимо U і V у рівняння (1): - зовнішнє рівняння

- рівняння лінії на поверхні

U та V назвемо криволінійними або гаусовими координатами на поверхні.

Розглянемо лінію: (3)

лінія, яка задана рівнянням (3) називається координатною U-лінією.

Розглянемо лінію: (4)

Ліня, яка задана рівнянням (4) називається координатною V-лінією.

U та V- лінії на поверхні утворюють координатну сітку, причому через кожну точку поверхні проходять дві лінії, U і V.

Розглянемо на поверхні деяку лінію, яка задається рівнянням , і розглянемо на ній точку X:

вектор є вектор дотичної до кривої в даній точці, вектори відповідно напрямними векторами дотичних до U та V-ліній.

Дотична площина і нормаль до поверхні

Нехай дано поверхню с (1)

зафіксуємо на ній т. Р, розглянемо площину,яка проходить через т. Р і містить вектори :

Дотичною площиною до поверхні (1) в т. Р називається площина, яка проходить через т. Р поверхні, паралельно до векторів .

Напишемо рівняння дотичної площини для різних способів її параметризації:

візьмемо т. М на площині:

(2)

вектори є компланарними, а отже:

(3) – векторне рівняння дотичної площини.

Нехай тепер (4)

і нехай

із (4) і (2) отримаємо параметричні рівняння: , тоді

- канонічне рівняння дотичної площини

розкривши визначник отримаємо загальне рівняння.

Нехай (5), припустимо, що , тоді , тому

- нормальний вектор

Нехай поверхня задана в неявному вигляді (6)

напишемо рівняння дотичної до поверхні (6) в точці (x₀,y₀,z₀), припустимо, що x, y, z є функціями від (U,V)

, тоді матимемо

, про диференціюємо цю рівність по U, а потім по V:

вектор , отже колінеарний до , тому перпендикулярний до дотичної площини, тоді його можна прийняти за нормальний вектор дотичної площини, і тоді рівняння матиме вигляд:

- рівняння дотичної площини.

Нормаллю до поверхні в даній точці, називається пряма, яка проходить через дану точку поверхні, перпендикулярно до дотичної площини.

(7)

• векторне рівняння нормалі

Нехай

і нехай , тоді

• параметричне рівняння нормалі

для того, щоб визначити канонічне рівняння визначаємо всюди :

- канонічне рівняння

Нехай , тоді

нормальний вектор нормальної площини :

- канонічне рівняння

Якщо поверхня задана в неявному вигляді, то нормальний вектор дотичної площини:

- канонічне рівняння нормалі