Бінормаль кривої

Пряма, яка проходить через т.Р кривої перпендикулярно до стичної площини, проведену через цю ж точку, називається бінормаллю

перпендикулярний до дотичної

перпендикулярний до бінормалі

нехай т.М біжуча точка, сполучимо М і О

- векторно-параметричне рівняння бінормалі

Нехай

якщо , тоді маємо:

- параметричне рівняння бінормалі

визначивши з даної системи отримаєм канонічне рівняння для бінормалі

Спрямна площина

Площина, яка визначається дотичною і бінормаллю називається спрямною

Ця площина визначається точкою і векторами і .

Для того, щоб написати рівняння спрямної площини точку Р приймемо за початкову,а вектори і за напрямні:

- векторно-параметричне рівняння спрямної площини

Якщо будемо мати

- параметричне рівняння спрямної площини

Головна нормаль

Пряма, яка проходить через т.Р кривої, перпендикулярно до спрямної площини, називається головною нормалью

ЗАУВАЖЕННЯ: головна нормаль завжди направлена в сторону опуклості кривої і лежить у стичній площині.

Позначимо одиничний вектор головної нормалі .

Для написання рівняння головної нормалі точку Р₀ приймаємо за початкову, а векторний добуток за напрямний вектор.

Вектори , які виходять з однієї точки Р є одиничними і взаємно-ортогональними, вони утворюють канонічний репер тригранника Френе.

Так, як колінеарний , то

аналогічно

Довжина дуги кривої Натуральна параметризація

Розглянемо деяку криву лінію і якусь дугу цієї кривої

Дугою або куском кривої називається топологічний образ замкненого відрізок

Нехай розглядувана крива є образом замкненого відрізка, впишемо в дугу кривої правильно вписану ламану

Ламана лінія називається правильно вписано в дугу, якщо її вершини на дузі слідують в такому ж порядку, як і їх прообрази на відрізку ab

Довжиною дуги кривої називається точна верхня грань довжин всіх правильно вписаних в дугу ламаних

Для того, щоб знайти довжину дуги кривої скористаємось відомим фактом з математичного аналізу,

відомо, що якщо лінія задана параметрично

(*) то довжина дуги такої кривої:

припустимо, що задана рівнянням (1)

із (1) і (*) маємо:

знайдемо похідну :

отже отримаємо: - довжина дуги кривої

Розглянемо тепер довжину дуги кривої, як функцію від параметра t

візьмемо похідну правої і лівої частини:

отже звідси маємо,що функція є монотонно зростаючою, отже є оборотною, тобто має обернену.

Це означає, що t = t (S) (2)

із (2) підставимо в (1):

, отже (3) - натуральна параметризація

Параметризація кривої при якій параметром виступає довжина дуги кривої S, називається натуральною параметризацією

Натуральна параметризація вигідна тим, що , справді

Отже, щоб від звичайної параметризації (1) перейти до натуральної (3) потрібно:

1. обчислити довжину дуги,даної кривої, виразивши її, як функцію параметра t;

2. розв’язати отриману рівність відносно параметра t;

3. у вихідне рівняння кривої,замість t підставити його вираз із пункту 2)

отримаємо натуральну параметризацію рівняння.