Індикатриса кривизни Дюпена

Розглянемо регулярну, принаймні двічі неперервно-диференційовну поверхню

зафіксуємо на поверхні т.Р і побудуємо в ній дотичну площину, від т.Р в кожному напрямку відкладемо відрізок довжиною .

Геометричне місце точок, які є кінцями

відрізків , відкладених від т.Р, називається

індикатрисою кривизни поверхні (або індикатрисою кривизни Дюпена).

Індикатриса кривизни може бути еліпсом, колом, двома спряженими гіперболами.

В залежності від цього і проводять класифікацію точок на регулярній поверхні.

Класифікація точок на поверхні:

При класифікації точок на поверхні можна використати різні підходи:

Класифікація точок з використанням поняття дотичної площини

Якщо поверхня розміщується по один бік від дотичної площини, побудованій в даній точці Р, то т.Р називається еліптичною.

Якщо поверхня розміщена по обидва боки від дотичної площини, то т.Р називається гіперболічною.

Якщо поверхня дотикається до дотичної площини по прямій лінії, то точка називається параболічною.

Класифікація точок на основі поняття ідекатриси Дюпена

Якщо індикатриса Дюпена в даній точці поверхні є еліпс, то вона називається еліптичною. Якщо при цьому еліпс вироджується в коло( тобто індикатриса кривизни є коло ), то точку називають омбілічною, це можливо лише тоді, коли коефіцієнти першої і другої квадратичної форми є пропорційними:

маємо систему з якої визначають омбілічні точки.

Якщо індикатриса кривизни є точка ( нормальна кривизна набирає в усіх точках значення нуль ), то точку називають точкою згущення.

Якщо індикатрисою кривизни є дві спрямлені гіперболи, то точка називається гіперболічною.

Якщо індикатрисою кривизни є дві паралельні прямі, то точка називається параболічною.

Класифікація точок поверхні на основі поняття Гаусової (повної) кривизни поверхні

Якщо Гаусова кривизна поверхні в даній точці більша нуля, то точку називають еліптичною.

Якщо Гаусова кривизна в даній точці менша нуля, то точка називається гіперболічною.

Якщо Гаусова кривизна дорівнює нулю, то точка називається параболічною.

Класифікація точок з використанням поняття стичного параболоїда поверхні

Н ехай дано регулярну, принаймні двічі неперервно-диференційовну поверхню і розглянемо параболоїд, який

дотикається до даної поверхні у т.Р, нехай т.Q нескінченно близька до т.Р

Стичним параболоїдом поверхні називається параболоїд, який дотикається до поверхні в т. Р і для якого виконується співвідношення:

ЗАУВАЖЕННЯ: в кожній точці регулярної, принаймні двічі неперервно-диференційовній кривій у кожній точці існує стичний параболоїд, який може вироджуватись у параболічний циліндр або площину.

Якщо в даній точці поверхні стичним параболоїдом є еліптичний параболоїд, то точка називається еліптичною.

Якщо стичним параболоїдом в даній точці є гіперболічний параболоїд, то точка називається гіперболічною.

Якщо стичний параболоїд в т.Р поверхні, вироджується в параболічний циліндр, то точка називається параболічною.

Якщо стичний параболоїд вироджується у площину, то точка Р називається точкою згущення.