Алгоритм приведения формулы к виду пнф.

Шаг 1. Исключить всюду логические связки « и ® по правилам:

(F₁«F₂)=(F₁®F₂)& (F₂®F₁)=(ùF₁ÚF₂)&(ùF₂ÚF₁);

(F₁®F₂)=(ù F₁ÚF₂);

Шаг 2. Продвинуть отрицание до элементарной формулы по правилам:

ù"x(F)=$x(ùF); ù(F₁ÚF₂)=(ùF₁&ùF₂);

ù$x(F)="x(ùF);. ù(F₁&F₂)=(ùF₁ÚùF₂);

Шаг 3. Переименовать связанные переменные по правилу:

“ найти самое левое вхождение предметной переменной такое, что это вхождение связано некоторым квантором, но существует еще одно вхождение этой же переменной; затем сделать замену связанного вхождения на вхождение новой переменной “, операцию повторять пока возможна замена связанных переменных;

Шаг 4. Вынести кванторы влево по законам алгебры логики.

Шаг 5. Преобразовать бескванторную матрицу к виду КНФ. Алгоритм приведения матрицы формулы к виду КНФ приведен в алгебре высказываний.

Пример: F=("_x(P₁ (х)®"_y(P₂ (y)®P₃ (z))))&(ù"_y(P₄ (x; y)®P₅.(z))).

Привести формулу к виду ПНФ.

l) Удалить логические связки “®”:

F=("_x(ùP₁ (х)Ú"_y(ù P₂ (y)ÚP₃ (z))))&(ù"_y(ù P₄ (x; y)ÚP₅.(z)));

2) применить закон де Моргана ù "_x( F(x))=$_x( ù F(x)):

F=("_x(ùP₁.(х)Ú"_y(ù P₂ (y)ÚP₃ (z))))&($_y(ù(ù P₄ (x; y)ÚP₅.(z)));

3) применить закон де Моргана ù(F₁ÚF₂)=(ùF₁&ùF₂):

F="_x(ùP₁.(х)Ú"_y(ù P₂ (y)ÚP₃ (z)))&($_y(P₄ (x; y)&(ùP₅.(z))));

4) переименовать связанную переменную x=w:

F="_w(ùP₁ (w)Ú"_y(ù P₂ (y)ÚP₃ (z)))&($_y(P²₄ (x; y)&(ù P₅.(z))));

5) переименовать связанную переменную y=v:

F="_w(ùP₁ (w)Ú"_v(ùP₂ (v)ÚP₃ (z)))&($_y(P₄ (x; y)&(ùP₅.(z))));

6) вынести квантор "_v влево:

F="_w"_v(ùP₁ (w)ÚùP₂ (v)ÚP₃ (z))&($_y(P₄ (x; y)&(ùP₅.(z))));

7) вынести квантор $_y влево:

F="_w"_v$_y(ùP₁ (w)ÚùP₂ (v)ÚP₃ (z))&P₄ (x; y)&ùP₅.(z).

Сколемовская стандартная форма

Наличие разноименных кванторов усложняет вывод заключения. Поэтому рассмотрим класс формул, содержащих только кванторы всеобщности. Формула F называется " - формулой, если она представлена в ПНФ и содержит только кванторы всеобщности, т.е.

F = "_x1"_x2 ¼"_xn (M).

Для устранения кванторов существования из префикса формулы разработан алгоритм Сколема, вводящий сколемовскую функцию для связывания предметной переменной квантора существования с другими предметными переменными.

Алгоритм Сколема

Шаг 1. Представить формулу F в виде ПНФ, т.е. F=Âx₁Âx₂¼Âx_n(M), где Â_iÎ{"; $}

Шаг 2. Найти в префиксе самый левый квантор существования:

a) Если квантор находится на первом месте префикса, то вместо переменной, связанной квантором существования, подставить всюду предметную постоянную a_, отличную от встречающихся предметных постоянных в матрице формулы, а квантор существования удалить;

б) если квантор находится не на первом месте префикса, т.е. "_x1"_x2¼"_xi-1$_xi .., то выбрать (i-1)-местный функциональный символ, отличный от функциональных символов матрицы М и выполнить замену предметной переменной x_i, связанной квантором существования, на функцию f(x₁;x₂;¼ x_i-1) и квантор существования удалить.

Шаг 3. Найти следующий справа квантор существования и перейти к исполнению шага 2, иначе конец.

Формулу ПНФ, полученную в результате введения сколемовской функции называют сколемовской стандартной формой формулы (ССФ).

Пример:

F=$_x1"_x2"_x3$_x4"_x5$_x6 ((P₁ (x₁; x₂) ÚùP₂(x₃; x₄; x₅))&P₃(x₄; x₆)).

1) заменить предметную переменную x₁ на постоянную a:

F="_x2"_x3$_x4"_x5$_x6 ((P₁. (a; x₂)ÚùP₂.(x₃; x₄; x₅))&P₃ (x₄; x₆));

2) заменить предметную переменную x₄ на функцию f² ₁.(x₂;x₃):

F="_x2"_x3"_x5$_x6 ((P₁.(a; x₂)ÚùP₂ (x₃; f ²₁(x₂; x₃); x₅))&P₃ (f²₁(x₂; x₃); x₆));

1. заменить предметную переменную x₆ на функцию f³₂(x₂; x3 ; x₅ ):

F="_x2"_x3"_x5((P₁(a; x₂)ÚùP₂(x₃; f²₁(x₂; x₃); x₅))& P₃(f²₁(x₂; x₃);f³₂(x₂; x₃ ; x₅ ))).