4 Минимизация фал методом кубических форм.
4.1.
можно сформировать различные покрытия
k
кубов разных рангов(r):
Мы условились, что цена i-го покрытия равна сумме покрытий каждого куба :
Цi= ΣЦk= Σ(n-r)k,
где – Цk=(n-r)k - цена k-куба, входящего в покрытие ;
n - число переменных куба;
r - ранг куба.
4.2 Суть минимизации ФАЛ сводится к поиску покрытия П(Z) кубического комплекса К(Z), имеющего минимальную цену Цn= ΣЦk min .
4.3. Покрытие П(Z) комплекса К(Z), имеющее минимальную цену, называется покрытием Квайна, а соответствующая этому покрытия ДНФ называется минимальной ДНФ (МДНФ).
Пример:
K(Z)=(011,100,101,110,111,-11,11-,1-1,10-,1-0,1- -);
П1(Z)=(011,100,101,110,11)=K0;
;
П2(Z)=(-11,11-,1-1,10-,1-0)=K1;
.
Перебирая сочетания кубов различных рангов можно получить следующее покрытия
П3(Z)=(011,11-,10-)=K2
,
;
П4(Z)=(-11,1-1,1-0)=K3,
;
П5(Z)=(011,1- -)=K4 , Цn= 3+1=4;
П6(Z)=(-11,1- -) и т.д. Цn= 2+1=3.
Соответствующие ДНФ имеют
,
,
,
,
;
.
Покрытие , имеющее минимальную цену, называется покрытием Квайна, а соответствующая этому покрытию ДНФ - МДНФ.
Минимизация фал методом карт Карно (Вейча)
5.1. Карта Вейча – прямоугольная таблица, число клеток в которой для ФАЛ n-переменных равно 2ⁿ. Каждой из клеток поставлен в соответствие некоторый набор входных переменных, причем рядом расположенным клеткам соответствуют соседние наборы входных переменных (кодов), а в самих клетках записаны значения функции, определенные для этих кодов.
Карты Карно – это графическое двухкоординатное представление таблиц истинности ( матричное представление). По осям располагают значения (наборы) входных переменных, а значения логических функций – в ячейках (клетках), расположенных на пересечении строк и столбцов.
5.2 Карта Карно двух переменных :
1
0
5.3 Карта Карно трех переменных :
01 11 10 00
1
0
«Цилиндр»
Крайние столбцы являются соседними.
Нижние и верхние строки – соседние.
5.4 Карта Карно 4-х переменных :
01 11 10 00
10
11
01
00
«Тор»
Крайние столбцы являются соседними.
Нижняя и верхняя строки – соседние.
5.5 Рассмотрим пример:
:
Д
0
У
Д
1
Д2
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
5.6 Карта Карно будет следующей:
00 01
11 10
0 0 1 0 1
1 1 0 0 1
Для реализации КЛС потребуется 3 элемента НЕ, 4 элемента И на три входа и 1 элемент ИЛИ.
5.7 Два метода минимизации булевых выражений по картам Карно:
метод минимальных сумм;
метод минимальных произведений;
5.8 Метод минимальных сумм заключается в следующем:
в карте Карно рассматриваются только ячейки, содержащие 1;
ячейки, содержащие 1, объединяются в группы размером
,
где a
и b
– целые неотрицательные числа, включая
0, так, чтобы число ячеек в группе было
как можно больше, а число групп наименьшим.Для каждой группы отбираются те переменные на координатных осях, значения которых не изменяются в пределах группы. Эти переменные и будут входить в произведение минимальной суммы. Если переменные равны логическому нулю, то они должны входить с отрицанием, если они равны логической единице – без отрицания.
