5 Чисельний метод якісного дослідження математичної моделі

Чисельний метод дослідження математичної моделі КО полягає у використанні ЕОМ. Для дослідження використаємо програму Mathcad( див. Додаток Б).

Ввівши вхідні дані про математичну модель , ми отримаємо:

Усталені значення вихідних величин;

Таблицю значень x(t);

графіки вихідних величин;

аналітичний розв’язок математичної моделі.

Вхідні дані:

Вектор вхідних збурень:

д е А₁=0.2;А₂=0.15

Значення матриці А, яка характеризує залежності між вихідними величинами:

.

З начення матриці В, яка характеризує вплив вхідних величин на виході:

Початковий крок інтегрування Т=5с.

6 Побудова математичної моделі кореляційним методом

6.1 Кореляційний метод побудови математичної моделі

Наш керований об’єкт будемо розглядати як чотири окремих об’єкта з одним входом і одним виходом. Тобто досліджуючи почергово вплив першого вхідного сигналу на перший і другий вихід, а також вплив другого вхідного сигналу на перший і другий виходи. Для цього ми скористаємося матричною передавальною функцією знайденою в п.4.

Нехай на вході об’єкта діє випадковий сигнал u(t). Після проходження сигналу через динамічну систему на її виході будемо мати сигнал X(t), також буде випадковим. Динамічні властивості об’єкта характеризуються ваговою функцією W(t). Оскільки M[u(t-)X(t)] = R_ux() – взаємна кореляційна функція і M[u(t-)u(t-)] = R_uu(-) – кореляційна функція вхідного сигналу, то

R_ux() = . (6.1)

Особливо простого вигляду набуває рівняння (6.1), коли на вході об’єкта (системи) діє білий шум. В цьому випадку

R_uu(-) = C_R(-) , (6.2)

де С_R – постійна величина; (-) – дельта-функція.

R_ux = C_R W()(-)d

враховуючи властивості дельта-функції, матимемо

R_ux() = C_RW(); (6.3)

W() = C_R^-1R_ux(). (6.4)

У випадку, коли вхідний сигнал – білий шум, оцінка W(), отримана з рівняння (6.1.4) має найменшу дисперсію порівняно з усіма лінійними оцінками. Для сигналів u(t), відмінних від білого шуму, оцінки W(t), одержані методом найменших квадратів при збільшенні часу реалізації величин X(t) i u(t), асимптотично наближаються до оцінок з найменшою дисперсією.

Для подальшої побудови математичної моделі скористаємося програмою Rkm_c_mf.bas. Вхідними величинами будуть матриці А та В і матриця U.

Результати виконання програми наведені в додатку B .

6.2 Планування експерименту побудови математичної моделі

З точки зору точності побудови математичної моделі об’єкта і простоти обчислень найбільш прийнятим вхідним сигналом є “білий” шум. Фізично реалізувати випадковий процес, який мав би властивості “білого” шуму неможливо. Тому на практиці мова може йти лише про генерації випадкової послідовності U(t), яка за своїми властивостями наближається до білого шуму.

Такий псевдо випадковий сигнал повинен відповідати певним вимогам, що диктуються технологічними причинами. Цей псевдо випадковий сигнал може визначатись таким чином:

– вхідній сигнал з однаковою ймовірністю приймає значення +а чи –а.

– перемикання сигналу з одного рівня на іншій відбувається тільки в дискретні моменти часу Z_i =iT₀ , де Т₀ –час такту. Для одержання таких сигналів часто застосовують псевдо випадкові періодичні послідовності, які називають М-послідовностями. Тобто

, (6.5)

де С_і –елементи двійкової послідовності.

Оскільки ймовірності станів +a і –a рівні між собою, а значення , які беруться в різні моменти часу, не корельовані, то сигнал називають двійковим білим

шумом. Слід відзначити, що автокореляційна функція послідовності періодична з періодом повторення , де

, (6.6)

де m - ціле число, що вибирається з таблиці.

Планування експерименту для побудови математичної моделі об’єкту вимагає визначення послідовності T_R і T₀. Період T_R сигналу , що вивчається

вибирають “часу пам’яті” об’єкта.

Знайдемо T_П для кожного елемента матричної передавальної функції W(p),

знайденої в п.4. Для цього скористаємося графіком зміни вихідної величини

в п.6.1. Тоді, якщо виходити з допущення, що перехідний процес закінчується,

коли вихідна величина досягає значення .

Побудуємо перехідні процеси для даної ММ КО використовуючи програмний пакет MATLAB (Додаток Г).

З графіків можемо визначити:

, , , .

Із співвідношення T_R > T_П вибираємо час T_R – період сигналу:

T_R11 = 192c, T_R21 = 192c, T_R22 = 192c.

Значення періоду квантування визначимо із співвідношення T_R/T₀>192 тоді T₀<T_R/192

T₀₁₁ = 0.5< 1c, T₀₁₂ = 0.5< 1c, T₀₂₁ =0.5< 1c, T₀₂₂ =0.5< 1c.

Знайдемо параметри М-послідовності із рівності T_R = T₀∙M . Маємо

M=T_R/T₀; (6.7)

Тоді одержимо: М₁₁ = 384, М₂₁ = 384, М₂₂ = 384.

Із таблиці вибираємо найближче значення М =127с ; m=7 ; k=5.