4 Дослідження математичної моделі керованого об’єкта методом передавальної функції

Для дослідження математичної моделі даним методом нам потрібно подати нашу математичну модель у матричної передавальної функції, яка має вигляд:

(4.1)

де (4.2)

-- зображення по Лапласу і-тої вихідної величини;

-- зображення по Лапласу j- тої вхідної величини.

Для знаходження матричної передавальної функції виконаємо пряме перетворення Лапласа.

(4.3)

Або

(4.4)

Приймаємо U₂(p)=0 і знаходимо x₁(p) і х₂(р), використавши правило Крамера для розв’язку системи рівнянь:

(4.5)

, (4.6)

. (4.7)

Тепер приймаємо U₁(p)=0 і знаходимо x₁(p) і х₂(р) таким самим способом як і вище:

(4.8)

, (4.9)

. (4.10)

Тепер знаходимо елементи матричної передавальної функції:

, (4.11) , (4.12) , (4.13) . (4.14)

Отже матрична передавальна функція нашої математичної моделі має такий вигляд:

. (4.15)

Тепер можемо приступити до дослідження математичної моделі КО. Загальна формула дослідження.

,

де

U(p) – зображення по Лапласу вхідних сигналів.

На вхід об’єкта подаються сигнали:

. (4.16)

Зображення по Лапласу цих величин матиме такий вигляд:

. (4.17)

Отже зображення по Лапласу вихідних величин виглядає так:

Тобто:

; (4.18)

. (4.19) Тепер потрібно зробити зворотне перетворення Лапласа з отриманих зображень вихідної величини. Зворотне перетворення Лапласа робимо за теоремою про лишки.

Д ля одержання рівняннь застосовуємо зворотне перетворення Лапласа. , обчислення оригінала вихідних величин зручно проводити за допомогою теореми лишків. Розглянемо рівняння (4.18),(4.19) і згідно теореми про лишки матимемо:

де n – кількість полюсів.

Знайдемо зміну вихідних величин X₁(t) і X₂(t) в часі. Для цього скористаємося зворотнім перетворенням Лапласа виразів (4.18) і (4.19).Обрахунок, проведений в програмному математичному пакеті Mathcad, наведений нижче.