2 Лінеаризація диференціальних рівнянь ко
Лінеаризація – це процес переходу від нелінійних диференціальних рівнянь до лінійних. Математичною основою лінеаризації є розклад нелінійної функції в ряд Тейлора, в якому залишаються тільки перші члени розкладу.
Лінеаризацію диференціальних рівнянь математичної моделі КО проводимо за правилом Тейлора, розкладаючи нелінійні функції у відповідні ряди :
Нехай
,
(2.1)
,
(2.2)
,
(2.3)
.
(2.4)
Проведемо лінеаризацію першого рівняння математичної моделі КО
,
(2.5)
для цього нелінійні функції, які входять в дане рівняння розкладемо в ряди Тейлора, використовуючи загальну формулу
,
(2.6)
тоді отримаємо
,
(2.7)
(2.8)
.
(2.9)
Підставивши отримані співвідношення у рівняння (2.5), отримаємо
(2.10)
Врахувавши,
що при усталеному режимі
,
отримаємо рівняння рівноваги
(2.11)
Підставивши отриманий вираз у рівняння (2.10) і зробивши елементарні перетворення отримаємо лінеаризоване рівняння ММ КО
(2.12)
Аналогічно проведемо лінеаризацію рівняння
.
(2.13)
Скориставшись формулою (2.6), отримаємо
(2.14)
.
(2.15)
(2.16)
Підставивши вирази (2.14),(2.15),(2.16) а також (2.3),(2.8) в рівняння (2.13), отримаємо
(2.17)
Використавши рівняння рівноваги вираз (2.17) запишемо
(2.18)
(2.19)
Підставивши
значення
(2.12) в дане рівняння отримаємо
(2.20)
Тоді отримаємо друге лінеаризоване рівняння ММ КО
(2.21)
Провівши елементарні перетворення отримаємо рівняння у наступному вигляді
(2.22)
Отже, лінеаризована математична модель КО матиме вигляд
Привівши отриману математичну модель до форми Коші, отримаємо
(2.23)
де
;
;
;
;
a, b – відповідні коефіцієнти, які визначаються за формулами
,
(2.24)
,
(2.25)
(2.26)
(2.27)
Скориставшись рівняннями рівноваги визначимо невідомі коефіцієнти.
3 Обчислення коефіцієнтів лінеаризованої математичної моделі керованого об’єкта
Знайдемо невідомі параметри КО необхідні для обчислення коефіцієнтів ММ.
Так
як
,отримаємо
;
(3.1)
.
Використовуючи рівняння рівноваги (2.11), отримаємо
,
,
(3.2)
.
Для визначення
коефіцієнтів інтерполяційного полінома
використаємо програму Inter.bas [див.
Додаток А]. В результаті одержимо:
Отримали функцію
.
(3.5)
Знайдемо похідну отриманої функції
,
(3.6)
підставивши відповідне значення тиску у (3.6), отримаємо
Отже
.
Знайдемо коефіцієнти лінеаризованої ММ КО за формулами (2.21)-(2.24), підставивши відповідні значення
;
;
;
;
;
;
.
Отже лінеаризована ММ КО запишеться
(3.7)