Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов

Рассмотрим случай, когда h=x_i+1 – x_i=const (i=0, 1, …).

Рассмотрим конечные разности:

– конечные разности 1-го порядка – разности между значениями функции в соседних узлах.

– конечные разности 2-го порядка – разности между конечными разностями 1-го порядка.

– конечные разности 3-го порядка.

…

– конечные разности k-го порядка.

Конечные разности удобно вычислять в таблице:

xi	yi	 yi	2 yi	3 yi
x0	y0	 y0	2 y0	3 y0
x1	y1	 y1	2 y1	3 y1
x2	y2	 y2	2 y2
x3	y3	 y3
x4	y4

Первая интерполяционная формула Ньютона

Будем искать интерполяционный многочлен Ньютона в виде многочлена n-ой степени:

P_n(x) = a₀+ a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁) +…+ a_n(x-x₀)…(x-x_n-1) (3)

Коэффициенты a₀, a₁, …, a_n находятся из условия совпадения значения исходной функции f(x) и многочлена P_n(x) в узлах интерполяции: .

Пусть , тогда , соответственно

…

Подставив в формулу (3), получим:

– первая интерполяционная формула Ньютона.

Погрешность вычислений оценивается следующим образом:

Так при n=2

, где

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется, когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции (формула для интерполирования назад). Интерполяционный многочлен ищется в виде многочлена n-ой степени:

P_n(x) = a₀+ a₁(x-x_n) + a₂(x-x_n)(x-x_n-1) +…+ a_n(x-x_n)…(x-x₁) (4)

Коэффициенты a₀, a₁, …, a_n находятся из условия совпадения значения исходной функции f(x) и интерполяционного многочлена P_n(x) в узлах: .

Подставив a_k в (4) и перейдя к переменной , получим вторую интерполяционную формулу Ньютона:

.

Погрешность вычислений оценивается следующим образом:

.

Рассмотрим задачу субтабулирования (уплотнения таблицы) функции на отрезке. Введем следующие обозначения:

a, b – концы субтабулирования;

H0 – старый шаг таблицы;

H – новый шаг таблицы;

y1, y2, y3 – конечные разности 1-го, 2-го, 3-го порядка;

d – границы погрешности метода.

Для вычисления конечных разностей составляется таблица:

xi	yi=sin xi	 yi	2 yi	3 yi
0,150	0,14944	0,00494	0,00000	-0,00001
0,155	0,15438	0,00494	-0,00001	0,00001
0,160	0,15932	0,00493	0,00000	0,00000
0,165	0,16425	0,00493	0,00000	-0,00001
0,170	0,16918	0,00493	-0,00001
0,175	0,17411	0,00492
0,180	0,17903

Блок-схема уплотнения таблиц функций:

Программа уплотнения таблиц функций (субтабулирования)

program subtab;

var a,b,d,h0,h,y,y0,y1,y2,y3,x,t : real;

begin

writeln;

write('Введите a, b, H0, H - ');

readln(a,b,H0,H);

write('Введите Y0, конечные разности Y1, Y2, y3 - ');

readln(Y0,Y1,Y2,y3);

writeln(' X Y D');

x:=a;

while x<=b do

begin t:=(x-a)/h0;

y:=y0+t*y1+t*(t-1)*y2/2;

d:=y3*t*(t-1)*(t-2)/6;

writeln(x:8:4, y:12:6, d:14:8);

x:=x+h

end;

readln;

end.

Введите a, b, H0, H - 0.155 0.165 0.005 0.001

Введите Y0, конечные разности Y1, Y2, y3 –

0.15438 0.00494 -0.00001 0.00001

X Y D

0.1550 0.154380 0.00000000

0.1560 0.155369 0.00000048

0.1570 0.156357 0.00000064

0.1580 0.157345 0.00000056

0.1590 0.158333 0.00000032

0.1600 0.159320 0.00000000

0.1610 0.160307 -0.00000032

0.1620 0.161293 -0.00000056

0.1630 0.162279 -0.00000064

0.1640 0.163265 -0.00000048

0.1650 0.164250 -0.00000000