- •Тема 3. Методологические основы финансового менеджмента
- •Вопрос 2. Финансовая математика.
- •2.1. Финансовая математика: область применения в финансовом менеджменте
- •2. 2. Основные методы финансовых вычислений
- •Временная ценность денег
- •Операции наращения и дисконтирования
- •Процентные ставки и методы их начисления
- •Результаты расчетов
- •Возрастание капитала
- •2.3. Модели инфляции
- •2.4. Модели и методы инвестиционных решений
Возрастание капитала
Период
|
Сумма, с которой идет |
|
Ставка
|
Сумма к концу
|
|
идет начисление |
|
(в долях ед.)
|
периода
|
|
|
|
|
|
6 месяцев
|
5,0
|
|
1,10
|
5,5
|
12 месяцев
|
5,5
|
|
1,10
|
6,05
|
18 месяцев
|
6,05
|
|
1,10
|
6,655
|
24 месяца
|
6,655
|
|
1,10
|
7,3205
|
Если пользоваться формулой, то т = 2, п = 2, следовательно: Fп = 5 • (1 + 20% : 100% : 2)4 = 7,3205 тыс. руб.
Пример 4. В условиях предыдущего примера проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если проценты будут начиняться ежеквартально.
В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% (20% : 4), а сумма к концу двухлетнего периода составит:
Fn = 5 • (1 + 0,05)8 = 7,387 тыс. руб.
При наращении по сложным процентам ежеквартальное начисление приносит больший результат, чем ежегодное.
Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:
• по схеме сложных процентов:
Fn = Р * (1 + r) w+f;
• по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов - для дробной части года):
Fn = Р* (1 + r) w*(1 + f*r);
где w - целое число лет;
f- дробная часть года.
Пример 5. Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?
По формуле Fn = 10*(1 •+ 0,3)2+0.5 = 19,269 тыс. руб.
По формуле Fn = 10*(1 + 0,3)2 • (1 + 0,3*0,5) = 19,435 тыс. руб.
Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.
Встречаются финансовые контракты,, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:
а) схема сложных процентов:
б) смешанная схема:
где w - целое число подпериодов в п годах;
f - дробная часть подпериода ;
т - количество начислений в году;
r - годовая ставка.
Обращаем внимание читателя на то, что в приведенных алгоритмах показатели w и f имеют разный смысл. Так, в первой формуле w означает целое число лет в п годах, а f- дробную часть года и поэтому п = w + f Однако во второй формуле w означает целое число подпериодов в п годах, а f- дробную часть подпериода и поэтому п = (w +f)/m. Иными словами, при пользовании этими формулами нужно отдавать себе отчет в том, о каком базисном периоде идет речь.
Пример 6. Банк предоставил ссуду в размере 120 тыс. руб. на 27 месяцев (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.
а) Годовое начисление процентов
В этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т.е. года. Поэтому возможно применение любой из схем, описываемых формулами и значениями соответствующих параметров: п = 2,25; w = 2; f= 0,25; г = 0,16.
• При реализации схемы сложных процентов:
Fn = Р - (\ + г)w+f= 1 20 - ( 1 + 0, 1 б)2.25 = 1 67,58 тыс. руб.
• При реализации смешанной схемы:
Fп = Р(1+r)w - (1 +f*r) = 120(1 + 0,16)2(1 + 0,25*0,16) =167,93 тыс. руб.
б) Полугодовое начисление процентов
В этом случае мы имеем место с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, нужно воспользоваться формулами, когда параметры формул имеют следующие значения: т= 2; w = 4; f=т • п - w = 2 • 2,25 - 4 = 0,5; г = 0,16.
• При реализации схемы сложных процентов:
=20 • (1 +0,08)4,25= 169,66 тыс. руб.
• При реализации смешанной схемы:
= 120 (1+ 0,08)4(1+ ½* 0,16/2) = 169,79 тыс. руб.
в) Квартальное начисление процентов
В этом случае т = 2; w = 9; f= 0, т.е. продолжительность ссуды равна целому числу подпериодов. Поэтому формулы дают один и тот же результат:
Fn = 120 ( 1+ 0,04)9 = 170,8 тыс. руб.
Здесь фактически пользуемся обычной формулой наращения сложными процентами.