16. 7. Функціональні ряди. Основні поняття

Функціональним рядом називають ряд, членами якого є функції, неперервні в одній області

, (7.14)

де – загальний член ряду (7.14).

Значення , при якому числовий ряд

є збіжним, називають точкою збіжності функціонального ряду (7.14). Сукупність усіх точок збіжності називають областю збіжності функціонального ряду.

Приклад 7.10. Знайти область збіжності функціонального ряду: а) ; б) .

Розв’язання. У випадку а): ряд можна розглядати як геометричний зі знаменником .

Відомо, що при геометричний ряд збіжний, у всіх інших випадках – розбіжний. Виходить, областю збіжності даного функціонального ряду є числовий проміжок (–1;1). Сума ряду в області збіжності дорівнює , тобто

при .

У випадку б): ряд збіжний при всіх значеннях , тому що нерівність виконується при будь-якому значенні і ряд збіжний. Отже, за ознакою порівняння ряд збіжний на всій числовій прямій.

За аналогією з числовими рядами: частинною сумою функціонального ряду називається

.

Сумою ряду називається .

Залишком ряду є .

Степеневим рядом називають функціональний ряд виду:

, (7.15)

де , , , ..., , ... – дійсні числа, коефіцієнти ряду; – деяке фіксоване число.

Якщо , ряд приймає вигляд

. (7.16)

Очевидно, що ряд (7.15) збіжний в точці . Аналогічно, ряд (7.16) збіжний в точці .

17. 8. Область збіжності степеневого ряду

Теорема Абеля. 1) Якщо степеневий ряд (7.16) збіжний при деякому значенні , не рівному нулю, то він абсолютно збіжний при всякому значенні , для якого .

2) Якщо степеневий ряд розбіжний при деякому значенні , то він розбіжний при всякому x, для якого .

Оскільки за припущенням числовий ряд

(7.17)

збіжний, то його загальний член при , а це означає, що існує таке додатне число , що всі члени ряду за абсолютним значенням менше .

Перепишемо степеневий ряд (7.16) у вигляді

(7.18)

і розглянемо ряд з абсолютних величин його членів

. (7.19)

Члени цього ряду менші ніж відповідні члени ряду

. (7.20)

При останній ряд є геометричною прогресією зі знаменником і, отже, збіжний.

Оскільки члени ряду (7.19) менші ніж відповідні члени ряду (7.20), то ряд (7.19) теж збіжний, а це означає, що і ряд (7.18) чи ряд (7.16) збіжний абсолютно.

2) Доведемо другу частину теореми: нехай у деякій точці ряд (7.17) розбіжний. Тоді він буде розбіжним в будь-якій точці , що задовольняє умові .

Дійсно, якби в якій-небудь точці , що задовольняє цій умові, ряд збіжний, то за тільки що доведеною першою частиною теореми він повинний був би бути збіжним й у точці , тому що , але це суперечить умові, що в точці ряд розбіжний. Отже, ряд розбіжний й у точці .

Теорема Абеля дозволяє зробити висновок про розташування точок збіжності і розбіжності степеневого ряду: якщо – точка збіжності степеневого ряду, то весь інтервал заповнений точками абсолютної збіжності. Якщо точка розбіжності, то вся нескінченна напівпряма вправо від точки і вся напівпряма уліво від точки – складаються з точок розбіжності.

З цього можна з’ясувати, що існує таке число , що при маємо точки абсолютної збіжності і при – точки розбіжності. Виконується наступна теорема про будову області збіжності степеневого ряду.

Теорема 7.3. Для будь-якого степеневого ряду (7.16) існує таке додатне число (радіус збіжності ряду), що для всіх ряд збіжний, а для всіх ряд розбіжний.

Для доведення розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду

. (7.21)

Як відомо, якщо ряд (7.21) збіжний, ряд (7.16) також збіжний і при цьому абсолютно.

Для дослідження ряду (7.21) застосуємо ознаку Даламбера:

.

Припустимо, що існує .

Тоді .

Очевидно, що ряд (7.21) збіжний при , тобто при . Отже, ряд (7.16) також збіжний при і при тому абсолютно.

Якщо ж , тобто , то ряд (7.21) розбіжний, отже ряд (7.16) також розбіжний.

Таким чином, число R

(7.22)

є радіус збіжності степеневого ряду (7.16). Проміжок називається інтервалом збіжності степеневого ряду.

У випадку, якщо питання про збіжність ряду залишається відкритим, потрібно досліджувати конкретний числовий ряд, який отримаємо, якщо підставимо в заданий степеневий ряд значення .

Можна показати, що степеневий ряд (7.15) збіжний при , тобто для всіх , які задовольняють нерівності

чи ,

де .

Поведінку ряду в точках потрібно досліджувати додатково.

Інтервал збіжності степеневого ряду (7.15) зображений схемою на рис. 7.2.

Рис. 7.2.

Якщо щодо дослідження ряду (7.21) застосувати радикальну ознаку Коші, можна одержати іншу формулу для обчислення радіуса інтервалу збіжності степеневого ряду:

. (7.23)

Зауваження 1. Якщо при обчисленні радіуса інтервалу збіжності по формулах (7.22) чи (7.23) одержимо, що , то, ряд збіжний тільки в одній точці. Якщо ж одержимо – ряд збіжний на всій числовій прямій.

Зауваження 2. Область збіжності степеневого ряду і його інтервал збіжності можуть розрізнятися тільки крайніми точками.

Зауваження. 3. Якщо степеневі ряди містять у собі тільки парні чи непарні степені чи , користуватися формулами (7.22), (7.23) не можна. У таких випадках інтервал збіжності степеневого ряду визначають, користуючись безпосередньо ознакою Даламбера.

Приклад 7.11. Знайти області збіжності степеневих рядів:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. У випадку а): степеневий ряд містить у собі всі степені двочлена і має вигляд

.

Для нього , , .

Знайдемо радіус інтервалу збіжності ряду за формулою (7.22). Одержимо

.

Ряд збіжний на інтервалі, зображеному на рис. 7.3.

Рис. 7.3.

Визначимо поведінку ряду в крайніх точках інтервалу.

При ряд приймає вигляд і є знакопочережним. Досліджуючи його за ознакою Лейбніца, знайдемо що

, .

Отже, ряд розбіжний.

При одержимо ряд , що також розбіжний, тому що для нього не виконується необхідна ознака збіжності ряду.

Отже, заданий ряд збіжний для усіх .

У випадку б): степеневий ряд містить у собі всі степені x і має вигляд

.

Для нього , , .

За формулою (7.22)

.

Отже, даний степеневий ряд збіжний на всій числовій прямій.

У випадку в): степеневий ряд містить у собі тільки непарні степені x і має вигляд

.

Дослідимо ряд з модулів членів даного ряду, застосувавши ознаку Даламбера.

Оскільки , ,

то . При ряд збіжний. Розв’язуючи нерівність, знайдемо, що чи – інтервал збіжності даного ряду.

Досліджуємо поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності. Підставляючи в степеневий ряд , одержимо знакопочережний ряд , що за ознакою Лейбніца збіжний, тому що для нього

і .

При одержимо ряд , що також є знакопочережним і збіжним.

Отже, заданий ряд збіжний на відрізку [–1;1].

Наведемо властивості степеневих рядів.

1. Сума степеневого ряду є функцією неперервною в будь-якій точці області збіжності.

2. Степеневий ряд можна почленно диференціювати чи інтегрувати, при цьому радіус його інтервалу збіжності не порушиться. Може змінитися поведінка ряду тільки в крайніх точках області збіжності.

Причому, якщо для степеневого ряду (7.16)

,

, і

Властивості справедливі і для ряду (7.15).

Так, для ряду сумою на інтервалі (–1;1) є функція , тобто

. (7.24)

Інтегруючи почленно рівність (7.24) на відрізку , де , одержуємо

або