5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
Розглянемо ряд, у якого два будь-яких сусідніх члени мають протилежні знаки. Такий ряд називається знакопочережним. Його можна записати у вигляді
,
(7.9)
де
.
Знакопочережними, наприклад, є ряди:
;
.
Ознака Лейбніца.
Якщо для знакопочережного ряду (7.9) виконуються умови:
1)
;
2) ,
то цей ряд збіжний, сума його додатня і не перевищує значення першого члена.
Доведемо, що при
виконанні умов ознаки Лейбніца для ряду
(7.9) існує границя послідовності частинних
сум, тобто
.
Розглянемо спочатку частинні суми ряду з парним числом членів:
Оскільки кожна з
дужок за першою умовою додатня, то
послідовність часткових сум
зростаюча. Покажемо, що вона обмежена.
Для цього запишемо:
.
Очевидно, що
.
Отже, послідовність частинних сум
монотонно зростаюча, обмежена і має
границю.
Нехай
.
Покажемо, що послідовність частинних сум з непарним числом членів має ту ж границю.
Оскільки
і
при
(за умовою), то
,
тобто послідовність усіх частинних сум
знакопочережного ряду (7.9) має скінченну
границю і, отже, ряд збіжний.
Зазначимо, що для
суми
ряду (7.9) справедливе співвідношення
.
Для парних частинних сум це показали в
доведенні ознаки.
Непарну частинну суму можна записати у вигляді:
,
звідки
видно, що
.
Зазначимо ще одну властивість знакопочережного ряду, що має велике практичне застосування.
Нехай ряд збіжний і його сума дорівнює , тоді
.
Різниця
– залишок ряду, у свою чергу є сумою
ряду, і, отже
.
Таким чином, заміняючи суму ряду його частинною сумою, одержуємо похибку, абсолютна величина якої менше від абсолютної величини першого відкинутого члена ряду, тобто
.
(7.10)
Приклад
7.8. Дослідити
на збіжність ряд
.
Розв’язання. Порівняємо модулі сусідніх членів ряду, одержимо
,
тобто перша умова ознаки Лейбніца виконується.
Оскільки
,
то і друга умова ознаки Лейбніца
виконується, отже, даний ряд збіжний.
Приклад 7.9. Скільки членів ряду, що є збіжним
потрібно взяти, щоб обчислити його суму з точністю до 0,001?
Розв’язання. Оскільки згідно (7.10)
,
то для забезпечення необхідної точності потрібно при обчисленні суми в першу чергу відкинути той член, абсолютна величина якого менше 0,001.
Обчислюючи члени
ряду, послідовно, бачимо, що
,
тому
,
тобто необхідно взяти три члени ряду.
6. Знакозмінні числові ряди
Ряди з довільним розподілом знаків їхніх членів називаються знакозмінними.
Будемо записувати такі ряди у вигляді
,
(7.11)
вважаючи
при цьому що числа
,
,
... можуть бути як додатніми, так і
від'ємними.
Зазначимо, що знакопочережні ряди є окремим випадком знакозмінних рядів.
Розглянемо ряд, складений з модулів членів знакозмінного ряду (7.11)
,
(7.12)
усі члени якого додатні.
Теорема 7.2. Знакозмінний ряд (7.11) збіжний, якщо збіжним є ряд, складений з модулів його членів (7.12).
Нехай ряд (7.12) збігається. Запишемо очевидну нерівність
.
(7.13)
У нерівності (7.13)
величина
є загальним членом збіжного ряду
,
а величина
– загальним членом невід’ємного ряду
,
що також є збіжним на підставі ознаки
порівняння.
Але тоді на підставі властивостей рядів, що збігаються, можна стверджувати, що буде збігатися і ряд
.
Зазначимо, що зворотнє твердження невірне. Якщо даний знакозмінний ряд збіжний, то ряд, складений з модулів його членів не обов'язково збіжний, цей ряд може бути і розбіжним.
Усі знакозмінні ряди, що є збіжними можна розділити на дві групи.
До першої групи відносяться такі ряди, що є збіжними, для яких ряди, складені з модулів їхніх членів, також є збіжними. Такі ряди називаються абсолютно збіжними.
До другої групи відносяться знакозмінні ряди, що є збіжними, для яких ряд, складений з модулів їхніх членів, розбіжний. Такі знакозмінні ряди називаються умовно збіжними.
Так, ряд
збіжний абсолютно, а ряд
збіжний умовно.
Можна показати, що в знакозмінному ряді, що є збіжним, будь-яке угруповання членів ряду, не змінює їхнього порядку, зберігає збіжність ряду і значення його суми.
Для абсолютно збіжних рядів можна довільно переставляти члени ряду. Ряд отриманий при цьому є також абсолютно збіжним і має ту ж суму.
Умовно збіжні ряди такою властивістю не володіють. Переконаємося в цьому на прикладі. Знаємо, що ряд
збіжний умовно. Позначимо його суму і зробимо наступну перестановку його членів: за кожним додатнім членом поставимо два наступні від'ємні члени, одержимо ряд
.
Групуючи його члени, одержимо ряд
або
Перестановкою
членів ряду
одержали ряд, сума якого в два рази менше
ніж сума даного ряду.
Як показав німецький математик Ріман, перестановкою членів умовно збіжного ряду можна одержати ряд, що є збіжним, і має будь-яку наперед задану суму, і навіть розбіжний ряд.