Ознака порівняння в граничній формі.

Якщо для рядів і виконується необхідна ознака збіжності і

,

то ряди поводять себе однаково: або обидва є збіжними, або обидва є розбіжними.

Нехай існує скінченна границя . За означенням границі або . Звідки . Тому .

Тоді, якщо ряд збіжний, то збіжний і ряд , а отже збіжний і ряд .

Якщо ряд розбіжний, ряд також розбіжний, а отже, розбіжний і ряд .

Приклад 7.5. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Порівняємо ряд з рядом , застосувавши ознаку порівняння в граничній формі.

Тут (на підставі першої істотної границі). Отже, ряди поводять себе однаково і ряд розбіжний, як і ряд .

Ознака Даламбера.

Нехай для знакододатнього ряду існує границя відношення наступного члена ряду до попереднього при і дорівнює скінченному числу : .

У такому випадку, якщо ця границя менша від одиниці, то ряд є збіжним. Якщо границя більша від одиниці, то ряд розбіжний. Якщо границя дорівнює одиниці, то ознака однозначної відповіді щодо збіжності чи розбіжності ряду не дає.

Нехай є знакододатній ряд і нехай

.

Тоді, починаючи з деякого номера члена буде виконуватися нерівність

,

де – як завгодно мале наперед задане додатнє число. Звідси для всіх номерів буде виконуватися нерівність

.

Нехай . Тоді можна взяти число настільки малим, що число також буде меншим від одиниці. Нехай .

Тоді або для всіх . Тоді одержуємо

, , , ...

Додавши нерівності, одержимо:

.

Але оскільки число , то у правій частині нерівності маємо геометричний ряд, що збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд в лівій частині нерівності також збіжний. Отже на підставі властивості 3 числових рядів заданий ряд також збіжний.

Нехай тепер , тобто . Але тоді , що свідчить про те, що члени ряду не спадають, тобто для нього не виконується необхідна ознака збіжності ряду, тобто ряд розбіжний.

Якщо ж , можна показати, що ознака однозначної відповіді не дає. В одних випадках ряд є збіжним, в інших – розбіжний. Для дослідження ряду потрібно застосовувати яку-небудь іншу ознаку збіжності.

Приклад 7.6. Дослідити на збіжність ряди:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. У випадку а): , і . Отже ряд збіжний.

У випадку б): ,

і . Ряд розбіжний.

У випадку в): , і . Ознака Даламбера відповіді не дає.

Радикальна ознака Коші.

Якщо для ряду з невід’ємними членами існує , то при ряд збіжний, при ряд розбіжний, при ознака відповіді не дає.

Нехай . Візьмемо число , що задовольняє умові . Тоді знайдеться такий номер члена послідовності , починаючи з якого виконується нерівність . Підставляючи значення , , ..., одержуємо:

; ; ; ... .

Додаючи нерівності маємо:

.

У правій частині нерівності – геометричний ряд, що є збіжним. На підставі ознаки порівняння ряд збіжний, а значить і ряд також є збіжним.

Приклад 7.7. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Тут , і . Отже ряд збіжний.

Інтегральна ознака Коші.

Якщо для знакододатнього ряду формула загального члена така, що відповідна їй функція неперервного аргументу невід’ємна, неперервна, яка монотонно спадає на півінтервалі , то невласний інтеграл і ряд є збіжними і розбіжними одночасно.

Доведення проведемо на підставі геометричного змісту визначеного інтеграла. Зобразимо графічно – площу криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції , знизу – проміжком на вісі абсцис (рис. 7.1).

Дано , , , ..., .

Рис. 7.1.

Обчислюючи площу криволінійної трапеції наближено з недостачею як суму площ прямокутників з основою, рівною одиниці і висотою, рівною значенню функції в правому кінці основи, одержимо

.

Якщо ж обчислити площу криволінійної трапеції наближено з надлишком як суму площ прямокутників, з основою, рівною одиниці і висотою, рівною значенню функції в лівому кінці основи, одержимо

,

тобто

.

Звідси:

; (7.7)

. (7.8)

Нехай інтеграл збіжний. Це значить, що існує скінченна границя .

Оскільки , то послідовність зростає зі збільшенням і обмежена зверху своєю границею: . З нерівності (7.7) випливає, що , тобто послідовність частинних сум обмежена зверху, а значить має скінченну границю, ряд є збіжним.

Нехай тепер розбіжний. У цьому випадку при .

З нерівності (7.8) випливає, що при , отже ряд є розбіжним.

Дослідимо дуже важливий за своїм застосуванням узагальнений гармонічний ряд (ряд Діріхле), що має вигляд

,

де – будь-яке додатнє число (при маємо простий гармонічний ряд).

Дослідимо ряд за допомогою інтегральної ознаки збіжності.

Тут , що відповідає функції неперервного аргументу .

Для невласний інтеграл має вигляд

.

При маємо .

При – .

При – .

Отже, ряд Діріхле є збіжним при і розбіжним при . Зокрема, ряд збіжний, тому що для нього , чого не можна було встановити за допомогою ознаки Даламбера.