3. 3. Властивості подвійного інтеграла

Доведення властивостей подвійного інтеграла безпосередньо випливають з його означення.

1) Подвійний інтеграл має властивість інваріантості – не залежить від позначення змінних інтегрування.

2) Сталий множник можна виносити за знак подвійного інтеграла:

.

3) Подвійний інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі подвійних інтегралів від доданків:

.

4) Якщо область розбита на дві області, які не перетинаються, то

.

Доведення твердження випливає з геометричного змісту подвійного інтеграла (рис. 6.3).

Рис. 6.3.

5) Якщо всюди в області , то

.

6) Якщо всюди в області , то

.

7) Модуль подвійного інтеграла не перевищує подвійного інтеграла модуля функції, що інтегрується, тобто

.

8)Якщо в області , то .

Ця властивість дозволяє використовувати подвійні інтеграли для обчислення площин плоских фігур.

9) Якщо функція неперервна в замкненій області , то справедлива нерівність

,

де – найменше значення функції в області ; – найбільше значення функції в області ; – площа області інтегрування.

Приклад 6.1. Оцінити інтеграл , де – квадрат, обмежений лініями , , , .

Розв’язання. Для функції маємо

, .

Оскільки площа області інтегрування , то .

Якщо приймемо значення інтеграла рівним середньому арифметичному нижньої і верхньої оцінок, то одержимо

.

Точне значення інтеграла .

Теорема 6.1 (теорема про середнє значення інтегралу). Якщо функція неперервна в замкненій області , то в цій області існує така точка , що

.

Дійсно, згідно властивості 9 подвійного інтеграла

.

Поділивши нерівність на , одержимо: . Оскільки функція неперервна в замкнутій області, то вона приймає всі проміжні значення. Отже, в області знайдеться така точка , що

, тобто .

Для невід’ємної в області функції теорема допускає таке геометричне тлумачення: об'єм циліндричного тіла з основою, що обмежене поверхнею , дорівнює об'ємові прямого циліндра з тією ж основою і висотою, рівною значенню функції у деякій точці області (рис. 6.4).

Рис. 6.4.

4. 4. Обчислення подвійного інтеграла

Будемо називати область простою відносно , якщо будь-яка пряма, перпендикулярна до вісі перетинає область не більш, ніж у двох точках (рис. 6.5). Таку область можна задати за допомогою системи нерівностей:

Аналогічно область будемо називати простою відносно , якщо будь-яка пряма, перпендикулярна до вісі перетинає область не більш, ніж у двох точках (рис. 6.6). Таку область можна задати за допомогою системи нерівностей:

Рис. 6.5.	Рис. 6.6.

Теорема 6.2. Подвійний інтеграл по простій області може бути обчислений за допомогою повторного інтегрування за однією з формул:

; (6.3)

. (6.4)

Очевидно, що для функції неперервної в області ,

,

тобто подвійний інтеграл не змінюється від зміни порядку інтегрування.

Зауваження. Якщо й область – прямокутна, задана системою нерівностей

то

.

Можна запропонувати такий порядок обчислення подвійного інтеграла.

1. Побудувати плоску область і записати її нерівностями як просту відносно або як просту відносно .

2. Розставити границі інтегрування у повторному інтегралі.

3. Обчислити внутрішній інтеграл.

4. Обчислити зовнішній інтеграл.

Приклад 6.2. Обчислити подвійний інтеграл по області, що обмежена лініями , , (рис. 6.7).

Рис. 6.7.

Розв’язання. Якщо розглянути область як просту відносно , то вона запишеться системою нерівностей

Тоді .

Обчислимо внутрішній інтеграл:

.

Проінтегруємо отриману функцію за аргументом :

.

Звичайно при обчисленні інтеграла запис не переривають і записують так:

Якщо розглянути область як просту відносно , то її можна записати системою нерівностей

Тоді

Нехай область інтегрування задана в полярній системі координат. Будемо називати область простою відносно , якщо будь-який промінь, що проходить через внутрішню точку області, перетинає її межі не більш, ніж у двох точках (рис. 6.8).

Таку область можна задати такою системою нерівностей:

Рис. 6.8.

Введемо поняття подвійного інтеграла для функції заданої в полярній системі координат.

Складемо інтегральну суму для заданої функції. Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбивання області на елементарні ділянки, розіб'ємо область найбільш зручним способом: променями і концентричними колами , , ..., (рис. 6.9).

Інтегральна сума для даної функції буде мати вигляд:

.

Якщо існує границя такої інтегральної суми за умови, що площа найбільшої ділянки розбиття прямує до нуля, то вона і буде називатися подвійним інтегралом функції по області у полярних координатах, тобто

. (6.5)

Рис. 6.9.

Обчислимо елемент площі у полярній системі координат як площу прямокутника (рис. 6.9):

.

Тоді формула (6.5) набуде вигляду

. (6.6)

Для обчислення подвійного інтеграла його потрібно замінити повторним. Якщо область проста відносно , то

. (6.7)

Іноді подвійний інтеграл у полярних координатах обчислюється набагато простіше, ніж у декартових. Тому треба вміти виконувати перехід від декартових координат до полярних в самому інтегралі, застосовуючи формули переходу

, , .

Тоді

. (6.8)

Приклад 6.3. Обчислити по чверті кільця , що лежить у першому квадранті (рис. 6.10).

Рис. 6.10.

Розв’язання. Зазначимо що відомими методами не можливо обчислити інтеграл від функції за жодним з аргументів. У полярній системі координат інтеграл обчислюється просто. Область інтегрування обмежена колами і , рівняння яких у полярній системі координат і . Область інтегрування

Тоді

.

Зауваження. До полярної системи координат має сенс переходити у випадку, якщо область інтегрування обмежена колом чи її частиною або в підінтегральній функції міститься вираз .