9. Ряди Тейлора і Маклорена
Дотепер визначали область збіжності степеневого ряду. Знаємо, що сума степеневого ряду неперервна в його області збіжності. Поставимо обернену задачу: за заданою неперервною функцією знайдемо степеневий ряд, що є збіжним, сума якого у всіх точках області збіжності збігається зі значеннями функції . Ця задача називається розвиненням функції в степеневий ряд.
Нехай неперервна функція зображена степеневим рядом в околі точки :
(7.26)
Права частина рівності (7.26) диференційована скільки завгодно раз, значить ліва частина цієї рівності, тобто функція також повинна бути диференційована скільки завгодно раз.
Це перша вимога, якій повинна задовольняти функція . Диференціюючи послідовно рівність (7.26), одержимо
...................................................................
.
Підставляючи в ці рівності , маємо:
;
;
;
;
...;
.
Звідки знаходимо
;
;
;
;
...;
,...
Підставляючи значення коефіцієнтів у рівності (7.26), одержуємо
(7.27)
Степеневий ряд, коефіцієнти якого рівні відповідно , називається рядом Тейлора.
При одержимо ряд за степенями , що називається рядом Маклорена.
Якщо функція
в деякому околі точки є сумою степеневого
ряду за степенями
,
то цей ряд є рядом Тейлора функції
(при
– відповідно рядом Маклорена функції
).
Але ряд Тейлора, складений для функції може і не бути збіжним до цієї функції в околі розглянутої точки .
Назвемо різницю
між функцією
і частковою сумою
ряду Тейлора функції
залишковим членом ряду Тейлора і
позначимо
.
Теорема 7.4. Для того, щоб функція в околі точки була сумою складеного для неї ряду Тейлора, необхідно і достатньо виконання двох таких умов:
1) диференційована скільки завгодно раз;
2)
.
Необхідність виконання першої умови очевидна. Необхідність виконання другої умови легко довести.
Нехай
– сума ряду Тейлора, а
– його частинна сума.
Тоді
,
.
Переходячи до границі при , одержуємо
,
.
Аналогічно можна довести, що якщо має похідні будь-якого порядку в точці і її околі, і залишковий член ряду Тейлора для функції прямує до нуля при , то ця функція є сумою побудованого для неї ряду Тейлора.
Доведено, що залишковий член ряду може бути записаний у вигляді
,
де
.
Це одна з форм залишкового члена ряду (форма Лагранжа), яка дозволяє оцінювати його при .
10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
Щоб функцію розкласти в ряд Тейлора (зокрема, у ряд Маклорена), потрібно:
1. Знайти її похідні
;
2. Обчислити значення
похідних у точці
(для ряду Маклорена
);
3. Формально скласти ряд Тейлора (Маклорена);
4. Знайти область збіжності отриманого ряду;
5. Дослідити залишковий член ряду при .
Якщо , то для функції справедлива рівність (7.26).
Розглянемо
.
Тоді:
.
Звідки одержуємо
.
Ряд Маклорена для функції
має вигляд
.
Такий ряд збіжний
на всій числовій прямій. Залишковий
член ряду
має вигляд
,
де
.
,
тому що
(як загальний член збіжного ряду). Тому
справедлива рівність
.
(7.28)
Розглянемо
.
Тоді
;
;
;
;
...
.
Підставляючи , одержуємо
.
Ряд Маклорена для функції має вигляд
.
Легко переконатися
в тому, що такий ряд є збіжним на всій
числовій прямій. Залишковий член ряду
для функції
:
,
де
.
при будь-якому x, тоді
(7.29)
Розвинення в ряд
функції
можна одержати шляхом диференціювання
ряду для
:
.
(7.30)
Розглянемо
,
де
– будь-яке дійсне число:
;
;
;
...
.
Обчислимо значення функції і її похідних:
,
,
,
,
...
.
Одержимо степеневий ряд
Тоді
.
(7.31)
Формула (7.31) називається біноміальним рядом.
При
маємо геометричний ряд
.
Замінивши в останній
рівності
на
і, інтегруючи, одержимо розвинення в
ряд функції
.
(7.32)