3 Методические указания по физике к контрольному заданию № 1
3.1 Контрольное задание № 1 относится к разделам курса физики «Механика», «Молекулярная физика» и «Термодинамика».
3.2 Раздел физики «Механика» является базой для изучения таких общеинженерных дисциплин, как «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», «Детали машин», а также целого ряда специальных: «Автомобильная техника», «Двигатели» и т. д.
3.3 В задачах кинематики бывает нужным использовать аппарат дифференциального и интегрального исчислений, чтобы определять мгновенные скорость и ускорение по заданной зависимости координаты от времени, а также решать обратные задачи.
Пример 1. Определить скорость и ускорение автомобиля, движущегося согласно уравнению S = At + Bt2 + Ct3, через 5 с после начала движения. Коэффициенты: А = 2 м/с; В = 2 м/с2 и С = 0,1 м/с3.
Дано: Решение
S
= At
+ Bt2
+ Ct3
Если закон движения задается
в виде S
= f(t),
то
t = 5 c полезно уяснить некоторые положения.
A = 2 м/с 1) Когда вместо координаты x можно использовать
B = 2 м/c2 путь S? Если движение прямолинейное без смены
С
= 0,1 м/с3
направления, то
.
υ - ?; a - ? 2) Что можно сказать по виду уравнения о движении?
При равномерном движении x = x0 + υ·t;
При
равноускоренном движении x = x0
+ υ0t
+
.
3) Что в заданном по условию уравнении означают коэффициенты при t?
υ0 = A – начальная скорость;
a0 = 2B – начальное ускорение.
Значения x0, υ0, a0 можно получить, подставив t = 0 в уравнения
х = f (t), х′ = f (t), х″ = f (t).
4) Чему равны скорость и ускорение в момент времени t = 5 c ?
= x′ = A
+ 2Bt + 3Ct2
, a
=
′
= 2B + 6Ct.
Подставив данные, получим:
= 29,5 м/с, a = 7 м/с2.
Ответ: 29,5 м/с; 7 м/c2 .
Пример 2. Движение тела определяется уравнением х = 3 + 4t - t2, м. Найти путь, пройденный за 4 с. Возникнет ли смена направления движения?
Для решения такой задачи нужно найти момент времени, когда скорость обращается в нуль, определить перемещения при разных направлениях движения и их модули сложить:
S = ∑|∆rі|.
Определим, когда скорость движения обращается в нуль:
х′ = 4 – 2t = 0, t = 2 с.
Отсюда следует, что через 2 с после начала движения тело начнет двигаться в противоположную сторону. Тогда
S = |Δr1| + |Δr2|,
где Δr1 – перемещение за время от t = 0 до t = 2 с;
Δr2 – перемещение за время от t = 2 с до t = 4 с.
Для обоих случаев
Δr
= x2
– x1
= 3 + 4t2
– t
– (3 + 4t1
– t
)
= 4 (t2
– t1)
– (t
– t
)
=
= [4 – ( t2 + t1)] · ( t2 – t1),
Отсюда Δr1 = [4 – (2 + 0)] · (2 –0) = 4,
Δr2 = [4 – (4 + 2)] · (4 – 2) = –4,
Δr = Δr1 + Δr2 = 4 – 4 = 0.
Отсюда следует, что за 4 с тело вернулось в точку с координатой х = х0 = 3 м.
S = 4 + |–4| = 8.
Ответ: 8 м; смена направления движения возникает при t = 2 с.
В ряде случаев при решении задач кинематики нужно уметь представить сложное движение как сумму простых, каждое из которых подчиняется собственной закономерности.
Пример 3. В противоположных точках основания сопки длиной 1500 м находятся миномет и цель. Под каким углом к горизонту следует установить ствол миномета, чтобы «накрыть» цель? Скорость вылета мины 300 м/с. Высота сопки 800 м.
Д
ано:
Решение
ОD = 1500 м
υ0 = 300 м/с
h = 800 м
α - ?
Движение
мины можно представить как результат
сложения ее движения по оси х с постоянной
скоростью
,
и по оси у со скоростью
(равнозамедленное движение).
Очевидно,
О
,
где
= время полета мины. Оно равно удвоенному
времени подъема мины
до высшей точки траектории.
В
этой точке υy
= 0, следовательно
,
то есть
откуда
.
Поскольку
,
получим
,
то
есть
.
Таким образом,
.
Это уравнение допускает два разумных физических решения:
и
.
Первое
решение дает
,
а
второе:
=
85o18΄.
Для
выбора решения, определим высоту подъема
мины. Исходя из формулы
,
получим
,
откуда
м,
Сопоставляя эти результаты с высотой сопки, получим, что первый угол слишком мал (мина «врежется» в сопку), а мина, выпущенная под углом 2, «накроет» цель.
Ответ: 85о18΄.
3.4 При решении задач динамики следует, как правило, опираться на второй закон Ньютона в векторной форме. Схема решения таких задач часто выглядит следующим образом:
- записать условие задачи, в том числе в компактном виде;
- сделать эскиз;
- расставить векторы сил, действующих на рассматриваемые тела;
- записать используемый закон применительно к данным условиям в векторной форме;
- выбрать значимые для данной задачи направления (оси координат);
- спроецировать уравнение на выбранные направления, получив уравнение (уравнения) в скалярной форме;
- решив скалярные уравнения, найти искомые величины;
- проанализировать полученный результат.
Пример 4.
Тело скользит по наклонной плоскости,
составляющей с горизонтом угол 30
.
Зависимость пройденного телом пути от
времени задана уравнением S
= At
+ 3Bt
,
где B
= 0,42 м/c2.
Найти коэффициент трения тела о плоскость.
Дано: Решение
= 300
S
= At
+ 3B
B
= 0,42 м/
Второй
закон Ньютона для данной задачи m
.
На
OX: m
a
= mgsin
–
.
На OY: O = mgcos – N.
Так
как
а N
= mg
cos
,
то m
a
= mgsin
–
mgcos
.
Из уравнения движения a
=
=
6В. Подставив это значение и выразив
коэффициент трения,
;
.
Ответ:
.
3.5 При решении ряда задач динамики следует пользоваться таким мощным средством, как законы сохранения энергии и импульса. Для этого, прежде всего, нужно определить, какие именно тела следует в данной задаче включать в систему тел, а какие считать внешними по отношению к этой системе. Здесь имеется свобода выбора, которой нужно грамотно пользоваться, чтобы облегчить решение задачи.
Законы сохранения позволяют решать многие задачи очень простыми средствами, однако следует постоянно иметь в виду, что они выполняются только при определенных условиях, наличие которых нужно оценить. В частности, нужно определить, можно ли рассматриваемую систему тел считать замкнутой, а действующие в ней силы консервативными.
Пример 5. Танк массой 25 т, двигаясь со скоростью 54 км/ч, производит выстрел под углом 300 к направлению движения. Масса снаряда 10 кг, его начальная скорость 800 м/с, продолжительность выстрела 3·10-3 с. На сколько изменится скорость танка непосредственно после выстрела? Какую силу толчка испытывает при выстреле водитель танка массой 80 кг?
Дано: СИ Решение
m
1
= 25 т 25·103
кг
1 = 54 км/ч 15 м/c
= 30o
m2 = 10 кг
2 = 800 м/с
t = 3·10-3 с
m3 = 80 кг
-
? F - ?
Условие задачи позволяет считать систему тел «танк-снаряд» замкнутой.
Изменение скорости танка после выстрела
,
где
– скорость танка непосредственно после
выстрела.
Используя закон сохранения импульса, определим :
.
Проецируя это уравнение на ось х, получим
.
Отсюда
Изменение скорости танка
.
Знак «минус» показывает, что скорость танка стала меньше. Вернемся к рисунку и убедимся, что изобразили верно.
Силу
толчка найдем, используя второй закон
Ньютона:
.
Так как 3 = (человек и танк движутся как одно целое), то
.
О чем говорит знак «минус»? Сила F направлена против скорости и прижимает водителя к сидению.
Ответ: 0,27 м/с; 7,2 кН.
3.6 Задачи по кинематике и динамике вращательного движения решаются так же, как и для поступательного движения. Более того, форма уравнений и законов поступательного и вращательного движений во многом совпадает. При этом роль скорости играет угловая скорость, ускорения – угловое ускорение, силы – момент силы, массы – момент инерции и т. д. Это следует постоянно иметь в виду не только для лучшего усвоения (запоминания) законов вращательного движения, но и для применения общих методик решения задач.
Пример 6. При запуске двигателя автомобиля угол поворота маховика зависит от времени по закону = А + Bt + Ct2, где С = 1,5 рад/с2. Радиус маховика 20 см. По касательной к маховику приложена результирующая сила 6 Н. Считая маховик однородным диском, найти его массу.
Д
ано:
СИ
Решение
С = 1,5 рад/с2
R = 20 см 0,2 м
F = 6 H
m - ?
Масса маховика определяет его момент инерции
,
который, в свою очередь, входит в основной закон динамики вращательного движения
.
Момент
силы
.
Так как сила в данном случае направлена
по касательной, то
.
Угловое ускорение равно второй производной от угла поворота
.
Объединяя эти уравнения, получим:
,
откуда
=
20 кг.
Ответ: 20 кг.
П
ример
7. Человек
массой 70 кг находится на краю неподвижной
горизонтальной платформы массой 200 кг
и радиусом 1,5 м. Платформа может вращаться
вокруг вертикальной оси, проходящей
через ее центр. С какой частотой начнет
вращаться платформа, если человек
спрыгнет с нее в направлении касательной
к ободу платформы со скоростью 2 м/с?
Платформу считать однородным диском,
а человека –
точечной
массой.
Дано: Решение
m1 = 70 кг На систему «платформа-человек» действу-
m2 = 200 кг ют внешние силы: сила тяжести и сила ре-
R = 1,5 м акции опоры, но сумма моментов этих сил
=
2 м/c
относительно
оси вращения равна нулю,
ν1 = 0 следовательно, момент импульса системы
остается
постоянным.
Момент импульса системы до прыжка равен 0, а после прыжка – сумме моментов импульса человека L1 и платформы L2:
.
Откуда
следует, что
,
то есть векторы
и
направлены вдоль оси вращения в
противоположные стороны.
В
скалярном виде L1=
L2,
где
– момент импульса человека, которого
в данном случае можно считать материальной
точкой.
– момент
импульса платформы.
Учитывая,
что
,
,
получим
,
откуда
,
об/с = 8,9 об/мин = 0,149 об/с.
Ответ: 0,149 об/c.
Пример 8. Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом 1 м вращается с угловой скоростью, соответствующей частоте 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в горизонтально расставленных руках гири. Какое число оборотов в минуту будет делать платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 2,94 до 0,98 кгм2. Считать платформу круглым однородным диском.
Дано: СИ Решение
m
= 80 кг
R = 1 м
2,94
кгм2
=
0,98 кгм2
=
20 об/мин 0,33 с-1
-
?
В основу решения задачи положим закон сохранения момента импульса:
(
+
)
=
(
+
)
,
то есть (
m
)
2
=
(
)
2
,
откуда
0,39
с-1.
Тогда в минуту ν2 = 0,3960 = 23,4 об/мин.
Ответ:
=
23,4 мин-1.
П
Решение Работа
в данной задаче будет равна кинетической энергии
шара: A
=
.
Шар совершает сложное вращательно-поступательное
движение, поэтому
,
.
Дано:
d
= 6 см = 6
м
4 об\c
m = 0,25 кг
A - ?
Скорость
поступательного движения найдём,
используя связь линейной и угловой
скоростей
R:
=
d.
Тогда
.
Энергия вращательного
движения
=
.
Момент инерции
шара I
=
m
=
m
=
.
Тогда
.
Полная кинетическая энергия:
.
0,70,253,14242(610-2)2
= 0,1 Дж.
Ответ: A = 0,1 Дж.
3.7 Раздел «Молекулярная физика» важен для будущего инженера-автомобилиста тем, что позволяет понимать процессы смесеобразования, сопротивление движению и т. д. Решение многих задач по этому разделу мало чем отличается от того, что изучалось в средней школе. Базой их решения является основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Исключение составляют задачи, посвященные явлениям переноса (диффузия, вязкость, теплопроводность), которые изучаются только в высшей школе.
Пример 10. Из баллона со сжатым воздухом объемом 10 л вследствие неисправности вентиля происходит утечка газа. При температуре 7 0С манометр показывает давление 5 МПа, при этом показания манометра не изменились и при температуре 17°С. Какая масса газа вышла из баллона?
Дано: СИ Решение
V
= 10 л 10-2
м3 Масса
газа, вышедшего из баллона, равна
раз-
T1 = 7 0С 280 К ности масс m1 и m2 воздуха в баллоне при тем-
p = 5 МПа 5.106 Па пературах Т1 и Т2:
T2
= 17 0С
290 К
.
M = 29.10-3 кг/моль Массы m1 и m2 найдем, используя
p1 = p2 уравнение состояния идеального газа
.
Отсюда
.
Соответственно,
,
.
Тогда
.
Подставляя числовые значения, получим
кг.
Ответ: 2,2610-2 кг.
3.8 В разделе «Термодинамика» тепловые процессы рассматриваются с точки зрения энергетических соотношений. Задачи по этому разделу решаются на базе законов термодинамики, в частности, первого закона («начала») термодинамики, известного из курса средней школы. Понимание энергетических характеристик различных изопроцессов и циклов является базой для последующего усвоения циклов тепловых двигателей, в частности, автомобильных.
Здесь следует иметь в виду, что первый закон термодинамики допускает разные формулировки в зависимости от того, рассматриваете ли вы получаемую или отдаваемую теплоту, работу, совершаемую системой, или работу внешних сил. Это разнообразие отражают знаки соответствующих величин А и Q, которые являются алгебраическими.
П
ример
11.
Термодинамический цикл двигателя имеет
вид, показанный на рисунке. В
конце изохорного сгорания при объеме
V1
воздух в цилиндре двигателя имел давление
8 МПа. В процессе изобарного (предварительного)
расширения 1 – 2 объем воздуха возрос в
1,5 раза и стал равным 0,124 л. Найти работу,
изменение внутренней энергии и теплоту,
подведенную к воздуху в процессе
предварительного расширения.
Д
ано:
СИ
Решение
р1 = р2 1 2
р1 = 8·106 Па
V2 = 1,5V1 = 0,124 л 1,24·10-4 м3
А - ?; ΔU - ?; ΔQ - ?
0 V1 V2 V
Работа
при изобарном процессе
то
есть
,
Дж.
Приращение внутренней энергии воздуха:
.
Полагая
для молекул воздуха i
= 5, получим
=
Дж.
На
основании первого закона термодинамики,
полученная воздухом теплота
Подставляя числовые данные, получим
Дж.
Ответ: 331 Дж; 827 Дж; 1158 Дж.