- •Исследование операций
- •Часть1. Математическое программирование (Модели и методы решения задач транспортного типа)
- •Оглавление
- •1. Транспортная задача линейного программирования (тзлп) 4
- •Введение
- •1.Транспортная задача (тз) линейного программирования
- •1.1. Метод северо-западного угла (сзу)
- •1.1.1. Составление опорного плана тз по методу сзу
- •Исходная таблица для решения
- •Вторая итерация
- •Третья итерация и далее (см. По таблицам)
- •1.1.2. Представление результатов решения.
- •Метод «от минимума стоимости транспортировки»
- •1.2.1. Предпосылки для построения нового опорного плана
- •Исходная таблица данных для решения
- •Первая итерация
- •Вторая итерация
- •Третья итерация и далее….
- •1.2.2. Опорный план по методу «от минимума стоимости»
- •1.3. Метод Фогеля
- •1.3.1. Метод минимизации штрафов
- •1.3.2. Опорный план, полученный по методу Фогеля
- •1.4. Сравнение планов по критерию стоимости
- •1.5. Метод потенциалов
- •5.1. Исходные понятия и условия потенциальности плана
- •2. Основные свойства и модели линейного программирования
- •2.1. Граф-схема решения тзлп размерности 2х3
- •8 Алгебраическая модель решения задачи линейного программирования
- •Для поиска зависимых переменных
- •2.2. Геометрическая форма представления области и процесса решения
- •2.3. Свойства задач линейного программирования
- •3 Понятие о Симплекс-методе решения задачи линейного программирования
- •3.1. Иллюстрация процесса поиска решения
- •3.2. Алгебраическое решение
- •3.3. Табличный вариант замены переменных
- •6. Вентцель е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – м.: Советское радио, 2007-206 с..
- •Исследование операций Контрольная работа Вариант № 13
- •1 Решение транспортной задачи 4 х 6
- •1.1 Исходные данные
- •1.2 Построение опорного плана методом северо-западного угла
- •1.3 Построение опорного плана методом от минимума стоимостей
- •1.4 Построение опорного плана методом Фогеля
- •1.5 Использование метода потенциалов
- •2 Решение транспортной задачи 2х3
- •2.1 Формирование исходных данных
- •2.2 Геометрический метод решения
- •Итоговая таблица решения методом минимизации штрафов (модифицированный метод Фогеля)
- •План транспортировки по Фогелю
- •Затраты стоимостей по плану Фогеля (338 усл.Ед.)
3 Понятие о Симплекс-методе решения задачи линейного программирования
Симплекс-метод представляет собой организацию процедуры поиска решения путём перемещения от опорной вершины, принадлежащей ОДР, к соседствующей с ней вершине в сторону оптимальной вершины путём одношаговых замен одной из свободных переменных на одну из базовых вплоть до выполнения критерия эффективности.
Само слово «симплекс» определяется как многогранник, выпуклая оболочка аффинно-независимых точек n-мерного пространства Давая геометрическую интерпретацию решения задачи ЛП, учитывается, что область допустимых решений –это многогранник. Название «симплекс-метод» указывает на связь теории многогранников с решением задачи линейного программирования.
3.1. Иллюстрация процесса поиска решения
Рис. 12.2 используем для иллюстрации симплекс-метода решения конкретной задачи линейного программирования.
Дано: ЗЛП в виде алгебраической модели системы уравнений ОДР:
– общее условие допустимости решений, где при x1=x2=0 имеем:
x1=x2=0; x3=320; x4=200; x5=280; x6=–100;
w=3820.
Точка (0, 0) не принадлежит области допустимых решений, , т.к. x6<0 и равно –100 в точке (0,0) ,Начало координат на рис. 12.2 –точка (0, 0) не принадлежит области допустимых решений:
Для удобства анализа введём буквенное обозначение и представим рис. 12.4 в виде размеченной системы рис. 12.2.
Далее рассуждения ведутся согласно принятой разметке ОДР в симплексах ОДР.
Итак, чтобы получить допустимое решение необходимо из точки «0» перейти в одну из точек симплекса {Ai; Bi; или Ci}, где .
Задача в примере невырожденная, т.к. во всех точках симплекса только две свободные переменные равны нулю, а именно (см. рис. 12.1):
A1: x2=x6=0;
A2: x1=x6=0
B1: x2=x4=0
B2: x1=x5=0
C1: x3=x4=0
C2: x3=x5=0
Переход из точки «0», где x1=x2=0 в любую из точек {A1; A2; B1; B2} соответствует правилу замены одной свободной переменной на одну базовую.
На рис. 12.2 показаны возможные пути перехода при решении задачи ЛП, соответствующие замене одной свободной переменной на одну базовую.
Очевидно, имеется ряд допустимых маршрутов перехода из точки “0” в оптимальную точку (симплекс-вершину) :
1) ;
2)
3)
4) .
Из них самый короткий путь – через точки (0, В1, ), самый долгий – через точки (0, А2, В2, С2, ).
Заметим, что, если разметка конца стрелки совпадает с разметкой начала следующей по цепочке стрелки, то действует правило транзитивности, сокращающее путь на одну замену.
Визуализация процесса поиска позволяет при иллюстрации алгебраического алгоритма поиска решения по идее симплекс-метода наметить оптимальный маршрут решения задачи.
3.2. Алгебраическое решение
Рассмотрим логику алгебраического хода решения задачи, пролегающего через точки (0–А1–В1– ).
Поиск опорного решения
Т.к. решение в точке “0” недопустимо из-за отрицательности значений x6= –100, напрашивается замена переменной x1 на базовую переменную x6или x2на x6.
С точки зрения алгебраических операций, замена переменных не представляет трудностей и требует только внимательных действий субъекта:
уравнение x6=x1 +x2–100 перерешим относительно x1:
x1=x6 –x2+100.
Теперь свободными переменными стали x2и x6(см. точку B1).
При x2=x6=0 базовая переменная x1=100, и условие x10 выполняется.
В остальные уравнения подставим полученное значение x1:
x3=320– x2–100– x6– x2=220– x6;
x4=200–100– x6+ x2=100– x6+ x2;
x5=280– x2;
w=3820–500–5 x6+5 x2–4 x2=3320–5 x6+ x2 .
Опорное решение получено и равно:
x6= x2=0; x1=100; x3=220; x4=100; x5=280; w=3320.
Для минимизации w желательно значение x6 сделать не только равным нулю, но и по возможности увеличить, поскольку значение –5x6 вычитается из w=3820.
Вывод. Наличие отрицательных коэффициентов при свободных переменных в случае минимизации функции w указывает на неоптимальность данного решения.
Для анализа выпишем систему полученных уравнений:
x1= x6 – x2+100;
x3=220– x3;
x4=100– x3+ x2;
x5=280– x2;
w=3320– 5x3+ x2 .
Увеличение x6 ограничено переменными x3 и x4, которые (при x2=0) стремятся с ростом x6 к уменьшению:
- при x6=220 имеем x3=0;
- при x6=100 и x2 =0 имеем x4=0.
Следовательно, x4 ограничивает рост x6 раньше, чем x3 (см. рис. 12.1). Путем замены x4 на x6 при x2=0 критерий эффективности станет меньше на 500 усл. ед.: w(x2;x3)=3320–500=2820.
Переход из точки A1B1 очевиден и из рис. 2.1.
По аналогии проведем замену переменных x6 на x4:
x6= 100–x4 + x4;
x1=200– x4;
x3=120– x2+ x4;
x5=280– x2;
w=2820 + 5x4– 4x2 .
Далее по аналогии, чем больше x2, тем лучше решение. Однако x3ограничивает рост x2значением x2=120. При этом получаем от замены x2 на x3 выигрыш w= – 4120=480.
Проведем замену x2 на x3:
X2= 120 + x4 – x3;
X1=200– x4;
X5=160– x4+ x3;
x3=220– x3;
w=2380 + x4+4 x3=wmin..
Итак, решение достигнуто в точке x3= x4=0; x1=200; x2=180; x5=160; x6=220; w=2380.
Оно совпадает с результатами, полученными ранее в процессе применения других моделей.