Для поиска зависимых переменных

	1	2	3	ai
A	x11	х12	x13	320
B	x21	x22	x23	380
bj	200	230	220	700

В итоге получена следующая задача линейного программирования в неравенствах

x10; x20 320– x1– x20 200– x10 280– x20 x1+x2–1000	x3=f3(x1;x2) x4=f4(x1) x5=f5(x2) x6=f6(x1;x2)
	w=fw(x1;x2)

Заметим, что, в отличие от графа К_2,3, алгебраическая модель совсем не напоминает задачу о бетоне, для решения которой была построена.

2.2. Геометрическая форма представления области и процесса решения

Третья модель. Геометрическое решение задачи.

В случае двух независимых переменных поиск точки решения, соответствующий W_min , нагляднее произвести методами геометрии в «топологии» Евклида.

С этой целью воспользуемся декартовой системой координат (x₁;x₂).

На рис. 2.2 приведена область допустимых решений, определенная неравенствами уравнений–ограничений.

Построена опорная прямая w’, параллельная искомой прямой w_min, т.е. w’ || w_min.

Определено направление перемещения опорной прямой w’ в сторону минимизации значений w.

Выделена точка x^опт=x⁰(200,120), соответствующая w_min.

Определено значение w_min(x⁰)=2340 усл. ед. Решение, полученное на модели 3, совпадает с решением, полученным на модели 1. Для наглядности на рис. 2.3. представлена линейная поверхность отклика (плоскость в 3-мерном пространстве) над линейной областью допустимых решений (область ОДР).

.Рис.2.2. Область допустимых решений и опорная прямая

2.3. Свойства задач линейного программирования

Задача математического программирования, сводимая к системе линейных уравнений или неравенств, включая критерий эффективности, становится задачей линейного программирования.

Уравнения–ограничения определяют область допустимых решений (ОДР).

Критерий эффективности определяется выбор соответствующей вершины на ОДР. Область допустимых решений представляет собой выпуклую оболочку. Если прямая критерия эффективности параллельна грани оболочки, которой принадлежит оптимальное решение, то любая точка этой грани может быть принята в качестве решения (в силу эквивалентности по величине значения оценки эффективности).

Из линейности граней и выпуклости ОДР, линейности w вытекает как видно из рис.2.2 следующие основные свойства ЗЛП:

• Решение задачи лежит, по крайней мере, в одной из вершин выпуклой оболочки, при условии конечно, что ОДР ограничена в направлении перемещения опорной прямой. (поверхности).

• Решение отсутствует, если ОДР не ограничена в направлении перемещения опорной поверхности.

• В невырожденном случае в вершине ОДР все свободные переменные равны нулю, число свободных переменных определяется мерностью пространства представления ОДР.

• В вырожденном случае число равных нулю переменных в вершине ОДР больше числа свободных переменных.

• Множество переменных естественно разбивается на два подмножества: свободные и базовые. Поисковые методы решения ориентированы на процесс поэтапной (пошаговой )замены свободной переменной на базовую.