Часть II.
В этой части Вам предлагается 14 заданий. На каждый из вопросов Вы можете дать один из четырех ответов «А», «Б», «В» или «Г», поставив отметку в соответствующей клетке бланка ответов. Кроме того, Вы можете дать ответ «Не знаю», оставив все четыре, соответствующие вопросу клетки, пустыми.
За каждое правильно выполненное задание начисляется один бал, в противном случае баллы не начисляются.
Задание
1. Укажите
соответствие, которое является функцией
:
А.
|
Б.
|
В.
|
Г.
|
Решение.
Если
каждому значению аргумента
из множества
поставлено
в соответствие по определенному правилу
единственное
значение
,
то на этом множестве
задана функция.
В
таблице А
и
.
В
таблице Б
и
.
В
таблице В
и
.
В
таблице Г
и
.
Условию однозначности удовлетворяет только таблица Г.
Ответ: Г.
Задание
2. Предел
равен:
А.
|
Б.
|
В.
|
Г.
|
Решение.
Величина
при
является бесконечно малой. Обратная
величина
при
является бесконечно большой. Произведение
ограниченной на бесконечно большую
величину
при
так
же
является
бесконечно большой величиной, поэтому
.
Ответ: Б.
Задание
3. Предел
равен:
А.
|
Б.
|
В.
|
Г.
|
Решение.
Функция
является непрерывной в точке
.
Поэтому предел
равен
значению функции в точке
.
Именно
.
Ответ: Г.
Задание
4. Предел
равен:
А.
|
Б. |
В. |
Г.
|
Решение.
Преобразуем
данный предел
.
Величина
является
бесконечно большой при
,
а величина
является ограниченной при
.
Поэтому
.
Ответ: В.
Задание
5. Предел
равен:
А.
|
Б.
|
В. |
Г.
|
Решение. Преобразуем данный предел и определяем тип неопределенности
.
Полученная неопределённость раскрывается путём деления на старшую степень переменной.
,
поскольку
,
,
.
Ответ: Г.
Задание
6. Производная
функции
равна:
А.
|
Б.
|
В.
|
Г.
|
Решение.
Функция
представляет собою произведение двух
функций
и
.
Поэтому необходимо воспользоваться
формулой для производной произведения
двух функций
и
соответствующими табличными производными
,
.
Следовательно
Ответ: В.
Задание
7. Производная
функции
в точке
равна:
А.
|
Б.
|
В.
|
Г.
|
Решение.
Функция
представляет собою сумму двух функций
и
.
Поэтому, при вычислении производной,
необходимо воспользоваться формулой
для производной суммы двух функций
,
свойством производной
и соответствующей табличной производной
.
Следовательно
.
Поэтому
Ответ: А.
Задание
8. Дифференциал
функции
в точке
равен:
А.
|
Б. |
В.
|
Г.
|
Решение.
Дифференциалом функции
в
точке
называется главная часть её приращения,
равная произведению производной функции
на приращение аргумента, и обозначается
или
:
Поэтому
Ответ: А.
Задание
9. Уравнение
наклонной асимптоты к графику функции
имеет вид:
А.
|
Б.
|
В.
|
Г.
|
Решение.
Наклонная асимптота – это прямая вида
,
где
и
,
при условии их существования определяются
пределами
,
.
При этом функция не может иметь более двух наклонных асимптот и если хоть один из указанных пределов не существует, то наклонной асимптоты не существует.
Находим значение углового коэффициента :
Ответ: А.
Задание
10. Для
функции
точка
есть точка перегиба. Тогда
равна:
А. |
Б.
|
В. |
Г. |
Решение.
Непрерывная на отрезке
функция
называется выпуклой вверх на этом
отрезке, если для любых
и
из этого отрезка
.
Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.
Дважды
дифференцируемая на
функция
выпукла вверх, если для любого
.
Дважды
дифференцируемая на
функция
выпукла вниз, если для любого
.
Пусть функция непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции , если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.
Необходимое
условие наличия точки перегиба.
Если
точка
перегиба функции
,
и функция
имеет вторую производную, непрерывную
в этой точке, то
.
Достаточное
условие наличия точки перегиба.
Пусть функция
непрерывна и имеет конечную или
бесконечную производную в точке
.
Если
меняет знак при переходе через точку
,
то
точка
перегиба функции
.
Для функции проверяем необходимое условие наличия точки перегиба.
.
Проверяем достаточное условие наличия точки перегиба. Поскольку меняет знак при переходе через точку , то точка перегиба функции .
Ответ: Б.
Задание
11. Функция
возрастает при:
А.
|
Б.
|
В.
|
Г.
|
любом
Решение.
Функция
называется возрастающей на множестве
(
),
если для любых
и
из этого множества и таких, что
выполняется неравенство
.
Для
того чтобы дифференцируемая функция
была возрастающей на множестве
,
необходимо и достаточно, чтобы её
производная
была неотрицательной на множестве
.
Для функции проверяем необходимое и достаточное условие возрастания на множестве :
.
Следовательно,
на множестве
функция возрастает.
Ответ: Б.
Задание
12. Дифференциал
функции
равен:
А.
|
Б.
|
В.
|
Г.
|
Решение.
Если функция
имеет непрерывные частные производные
и
в точке
,
то она дифференцируема в этой точке и
её полный дифференциал
выражается формулой
Найдем частные производные и
и
.
Поэтому
.
Ответ: Г.
Задание
13. Неопределенный
интеграл
равен:
А.
|
Б.
|
В.
|
Г.
|
Решение.
Для произвольного
справедлива формула табличного
интегрирования
и для любых постоянных и
.
Таким образом
Ответ: В.
Задание
14. Функция
является производственной, если:
А.
|
Б.
|
В.
|
Г.
|
Решение. Производственная функция Кобба-Дугласа в теории производства в экономике определяет зависимость объема производства Q от создающих его затрат труда L и капитала K.
Функция впервые была предложена Кнутом Уикселлом. В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом. Общий вид функции:
,
где
технологический коэффициент,
коэффициент
эластичности по труду, а
коэффициент эластичности по капиталу.
Если
сумма показателей степени
равна единице, то функция Кобба-Дугласа
является линейно однородной, то есть
она демонстрирует постоянную отдачу
при изменении масштабов производства.
Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, - убывающую.
Коэффициенты эластичности выпуска продукции по труду и капиталу имеют положительные значения, так как интерпретируются следующим образом:
эластичность выпуска по труду - относительное изменение объема выпускаемой продукции за счет изменения вложений труда на 1 процент
эластичность выпуска по капиталу - относительное изменение объема выпускаемой продукции за счет изменения вложений капитала на 1 процент
Поскольку
приток дополнительного капитала и
привлечение дополнительной рабочей
силы способствуют увеличению производства,
коэффициенты обладают положительными
значениями. Таким образом, величины
и
могут принимать только положительные
значения.
Кроме того, в силу закона убывающей предельной эффективности, вторые частные производные должны быть отрицательны. Таким образом величины и должны быть меньше единицы.
Ответ: Б.