ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»

Кафедра высшей математики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

Раздел: математический анализ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

САНКТ-ПЕТЕРБУРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

2011 г.

Методические указания и контрольные задания по курсу «Математики» Раздел: математический анализ для студентов вечернего и заочного факультетов. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2011.- 32с.

Методические указания составлены в соответствии с учебной программой курса «Математика» раздела «Математический анализ» и предназначены для студентов первого курса вечернего и заочного факультетов. В данном пособии приведены контрольные задания для самостоятельной работы и даны указания по их решению.

Автор-составитель: Матвеев П. Н.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент Дорофеев В. Ю.

©Издательство СПбГУЭФ, 2011

Предисловие.

Данное издание предназначено для студентов заочного факультета СПбГУЭФ изучающих курс математики.

Методические указания содержат примерные тестовые задания, предлагаемые на экзамене по математике студентам заочного отделения обучения и решения этих заданий.

Ознакомление с приведенным ниже материалом будет полезным при подготовке к экзамену по математике, как для студентов заочной, так и очно-заочной форм обучения.

Все задания распределены по трем частям.

Каждое задание, предлагаемое в первой части, требует простого ответа «да» или «нет» на каждый поставленный вопрос.

При выполнении заданий из второй части необходимо выбрать правильный ответ из нескольких предлагаемых вариантов.

В третьей части теста предлагается решить задачи и дать ответ в виде действительного числа.

За правильно выполненные задания начисляются баллы, которые затем суммируются.

Раздел первый

В этом разделе содержатся решения примерных тестовых заданий предлагаемых на экзамене по математике студентам первого курса заочного отделения и анализ решений этих заданий.

Часть I.

В этой части Вам предлагается 6 заданий, каждое из которых состоит из родственных друг другу вопросов. На каждый из вопросов Вы можете дать один из двух ответов: «Да» или «Нет» поставив отметку в соответствующей клетке таблицы в бланке ответов. Кроме того, Вы можете дать ответ «Не знаю», оставив обе, соответствующие вопросу клетки, пустыми. За каждое правильно выполненное задание начисляется один бал, в противном случае – ноль баллов.

Задание I. Пусть существуют пределы , тогда выполняется свойство:

1. 

2. 

3. 

4. 

Решение. Если существуют пределы , то справедливы утверждения.

1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

.

2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

.

3. Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

5. Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

, если .

Вывод. Утверждение (1), (3) верны, а утверждения (2),(4) не верны.

1. Ответ: Да

2. Ответ: Нет

3. Ответ: Да

4. Ответ: Нет

Задание II. Функция является бесконечно малой в точке , если:

5. 

6. 

7. 

8. 

Решение. Функция называется бесконечно малой при , где может быть числом или одной из величин , если .

Бесконечно малой функция может быть только в том случае, если указать к какой величине стремится аргумент . При различных значениях функция может быть бесконечно малой или нет.

Свойства бесконечно малых:

1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций при тоже бесконечно малая функция при .

2. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при тоже бесконечно малая функция при .

3. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки является бесконечно малой функцией при .

4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть бесконечно малая функция.

5. Находим пределы и , следовательно

.

Вывод. Функция не является бесконечно малой в точке .

Ответ: Нет.

5. Отметим, что функция является бесконечно малой при , а функция ограниченной, то .

Вывод. Функция является бесконечно малой в точке .

Ответ: Да.

5. Вычислим предел . Поскольку , то, следовательно, функция действительно является бесконечно малой в точке .

Ответ: Да

5. Вычислим предел . Поскольку , то, следовательно, функция не является бесконечно малой в точке .

Ответ: Нет

Задание III. Функция является бесконечно большой в точке , если:

5. 

6. 

7. 

8. 

Решение. Отметим, что функция является бесконечно большой при , если выполнено одно из соотношений , или .

При этом функция , при является бесконечно большой тогда и только тогда, когда является бесконечно малой при

9. Находим предел:

Вывод. Функция не является бесконечно большой при .

Ответ: Нет.

9. Находим предел:

Вывод. Функция не является бесконечно большой при .

Ответ: Нет.

9. Находим предел функции . Имеем

Вывод. Поскольку функция является бесконечно малой при , то функция является бесконечно большой при .

Ответ: Да.

9. Находим предел .

Вывод. Функция является бесконечно большой при .

Ответ: Да.

Задание IV. Функция не имеет точек локального экстремума если:

9. 

10. 

11. 

12. 

Решение. Сначала проверяем выполнение необходимого условия наличия точек локального, а за тем достаточное условие наличия точек экстремума.

13. Находим точки подозрительные на экстремум. Для этого находим первые частные производные и составляем систему уравнений:

.

Имеем

Следовательно, система для определения точек подозрительных на экстремум имеет вид

Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому система имеет единственное решение – одну точку подозрительную на экстремум.

Находим вторые производные и проверяем достаточное условие наличия точек локального экстремума. Имеем

,

Поэтому

Вывод. Функция не имеет точек локального экстремума.

Ответ: Да.

13. Находим первые частные производные

и составляем систему для нахождения точек подозрительных на экстремум:

Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому система имеет единственное решение – одну точку подозрительную на экстремум.

Находим вторые производные и проверяем достаточное условие наличия точек локального экстремума. Имеем

,

Поэтому

Вывод. Функция имеет точку локального экстремума.

Ответ: Нет.

13. Находим первые частные производные

и составляем систему для нахождения точек подозрительных на экстремум:

Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому система имеет единственное решение – одну точку подозрительную на экстремум.

Находим вторые производные и проверяем достаточное условие наличия точек локального экстремума. Имеем

,

Поэтому

Вывод. Функция не имеет точек локального экстремума.

Ответ: Да.

13. Находим первые частные производные

и составляем систему для нахождения точек подозрительных на экстремум:

.

Эта система имеет единственное решение. Поэтому точка является единственной точкой подозрительной на экстремум.

Находим вторые производные и проверяем достаточное условие наличия точек локального экстремума в точке . Имеем

,

Поэтому

Вывод. Функция имеет точку локального экстремума.

Ответ: нет.

Задание V. Функция ограничена на плоскости, если:

13. 

14. 

15. 

16. 

Решение. Функция ограничена, если найдутся числа и такие, что .

17. Утверждение неверно, так как, мы можем определить новую переменную и . Поэтому не существует чисел и таких, что .

Ответ: Нет.

17. Утверждение верно, так как, мы можем определить новую переменную , а функция удовлетворяет неравенствам .

Ответ: Да.

17. Утверждение неверно, так как, мы можем определить новую переменную , (здесь постоянная величина) и функцию , так что и . Поэтому функция , при неограниченном увеличении , будет больше любого наперед заданного положительного числа , а это и означает, что функция не ограничена.

Ответ: Нет.

17. Утверждение неверно, так как, мы можем определить новую функцию , при постоянном значении переменной . Поскольку , функция не ограничена, а это и означает, что функция тоже не ограничена.

Ответ: Нет.

Задание VI. Неопределенный интеграл обладает свойством:

21. 

22. 

23. 

24. 

Решение. Функция называется первообразной функцией для данной функции на данном промежутке, если на этом промежутке .

Выражение, где первообразная функции и произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . Таким образом, по определению, если .

Неопределенный интеграл обладает свойствами:

1. , следовательно, .

2. или

3. 

4. 

21. Рассматриваемое свойство соответствует свойству c), поэтому оно верно.

Ответ: Да.

21. Рассматриваемое свойство соответствует свойству a), поэтому оно верно.

Ответ: Да.

21. Пусть, например, функция , а функция , тогда

.

С другой стороны

,

Поэтому это свойство не верно.

Ответ: Нет.

21. Пусть, например, функция , а функция , тогда

.

С другой стороны

.

Поэтому это свойство не верно.

Ответ: Нет.

Задание VII. Если и непрерывные функции, то определенный интеграл обладает свойством:

21. 

22. 

23. 

24. 

Решение. Если непрерывна на и некоторая первообразная функции , то (формула Ньютона-Лейбница)

.

Определенный интеграл обладает свойствами:

1. 

2. если функции и непрерывны на , то непрерывна их линейная комбинация и

3. 

4. на отрезке найдется такая точка , что

.

21. Рассматриваемое свойство соответствует свойству a), поэтому оно верно.

Ответ: Да.

21. Пусть, например, функция , а функция , тогда

.

С другой стороны

.

Поэтому это свойство не верно.

Ответ: Нет.

21. Рассматриваемое свойство соответствует свойству c), поэтому оно верно.

Ответ: Да.

21. Поскольку непрерывная функция, то используя формулу Ньютона-Лейбница, получим

.

Но при этом для произвольной непрерывной функции . Поэтому это свойство не верно.

Ответ: Нет.