2) Розподіл Стьюдента ( -розподіл)

Якщо випадкова величина має стандартний розподіл , а випадкова величина – розподіл із ступенями вільності, то величина характеризується розподілом Стьюдента:

, .

Функція розподілу:

.

-розподіл, як і розподіл , має велике значення в математичній статистиці.

3.7 Оцінки параметрів нормального розподілу

У цього розподілу два параметри: математичне сподівання і дисперсія . Оцінками і параметрів і є

, .

Довірчий інтервал для математичного сподівання при відомій дисперсії:

,

де параметр знаходиться за заданою надійністю з рівняння за допомогою таблиць значень функції Лапласа.

Довірчий інтервал для математичного сподівання при невідомій дисперсії:

,

де параметр знаходиться за заданою надійністю за допомогою таблиці значень розподілу Стьюдента.

Довірчий інтервал для дисперсії при відомому математичному сподіванні

,

де числа і визначаються за заданою надійністю за таблицею критичних точок розподілу .

Довірчий інтервал для дисперсії при невідомому математичному сподіванні

,

де числа і визначаються за заданою надійністю за таблицею критичних точок розподілу .

Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення

,

де параметр знаходиться за заданою надійністю за допомогою таблиці.

Зміст практичного заняття

Завдання 1. Прилад складається з елементів, працюючих незалежно один від одного. Ймовірність відмови кожного елемента дорівнює . Випадкова величина – число елементів, що відмовили. Знайти

а) закон розподілу випадкової величини ;

б) функцію розподілу випадкової величини та її графік;

в) математичне сподівання , дисперсію , середнє квадратичне відхилення .

№ варіанту
1	3	0,08
2	4	0,06
3	5	0,07
4	3	0,09
5	4	0,05
6	5	0,15
7	3	0,25
8	4	0,45
9	5	0,55
10	3	0,35

Завдання 2. Випадкова величина розподілена за рівномірним законом.

а) Написати вираз для функції розподілу і щільності , якщо відомо, що , і для будь-якого інтервалу виконується умова .

б) знайти математичне сподівання , дисперсію , середнє квадратичне відхилення .

№ варіанту
1	2	4	0	2	2/9
2	1	3	3	6	3/8
3	4	6	2	4	4/7
4	3	5	5	8	5/6
5	6	9	3	6	1/5
6	0	1,5	1,5	4	4/9
7	2,5	6	1,5	2,5	5/8
8	0	1,1	1,1	2	3/5
9	0,5	1	1	2	1/5
10	2	4	1	2	7/10

Завдання 3. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з параметрами і .

а) Написати вираз для функції розподілу і щільності ;

б) знайти .

№ варіанту
1	10	1	12	14
2	9	2	10	12
3	8	3	9	12
4	7	4	5	7
5	6	5	3	5
6	5	6	0	3
7	3	8	–1	2
8	14	10	12	15
9	9	2	8	11
10	10	4	5	18

Завдання 4. За даними спостережень нормально розподіленої випадкової величини знайти з надійністю довірчий інтервал для

а) математичного сподівання , якщо відома дисперсія ;

б) математичного сподівання , якщо дисперсія невідома;

в)дисперсії при відомому математичному сподіванні;

г) середнього квадратичного відхилення .

Вибірка представлена таблицею.

1.

26,9	20,7	19,2	44,9	22	15,2	29,2	21,3	15,7	16,9
23,9	24,2	25,8	27,4	25,6	19,3	12,9	33,7	30,7	16,1
25	35,6	21,8	10,1	14,3	14,9	20,5	24,4	19,9	21,7
27,7	25,5	26,8	16,1	16,4	16,4	21,2	15	4,5	32,7
29,4	25	17,1	17,6	18	25,9	21,2	32,9	14,6	26,6

2.

36,9	45,8	29,7	37,7	44,4	21,8	42,8	27	37,1	26,9
25,7	36,8	21,1	33,2	36,8	43,8	25,8	31,4	37,2	35,2
35,3	37,5	39,5	40,2	40	35,7	29,3	37,1	33	28,2
48,2	25,7	22,6	36,6	24,4	31,2	39,9	30,2	27,9	28,2
41,4	27,1	25,6	38,2	29,1	37,6	38,5	37,5	35	33,7

3.

44,3	43,8	40,8	38,7	44,1	43,1	35,3	47,7	47,2	49,5
47,8	46,4	40,2	41,4	46,9	47,7	44,6	40,5	40,9	43
48,2	56,1	42,5	46,1	46	55,6	52,7	25,5	46,8	38,8
38,8	37,1	38,6	35,1	29,8	42,3	41,1	46	57,8	47,8
49,1	48,2	48,6	46,9	34,5	42,5	36,6	47	40,7	37,4

4.

40,6	42,2	50,1	44,2	46,7	55,4	40,8	46	54,2	52,6
24,5	30	47,5	41,4	37,1	46,7	51,7	48,3	46,1	40,3
43	41	45	53,6	47,3	49,8	51,5	45,9	48,1	47,2
49,2	42,5	40,8	68,6	43,9	36,5	51,6	43,1	37,1	38,3
45,9	46,2	48	49,6	47,8	40,9	34	56,5	53,2	37,4

5.

68,2	47,3	44,4	57,4	46,1	52,4	60,5	51,4	49,3	49,6
57	56,6	53,9	52,2	56,8	55,9	49,2	59,9	59,5	61,5
60,4	67,2	55,4	58,5	58,5	66,8	64,2	40,7	59,1	52,2
61,9	48,6	47,2	58,9	50,4	58,4	59,1	58,2	55,9	54,7
60,1	58,9	53,5	54,5	59,3	59,9	57,2	53,7	54	55,8

6.

29,1	41,5	52,6	33,2	45,9	39,1	31,6	45,4	42,2	33,4
45	19,7	38,2	29,8	34	35,5	38,2	42,5	48,5	35,4
38	28,5	42	43,1	20,6	31	33,2	46,1	48	34
25,5	32,8	30,1	37,1	32,5	35,6	47,1	46	37,5	26,5
35,4	31,8	36,1	37,7	38,9	32,7	37,9	37,3	31,4	39,3

7.

58,3	50,6	48,1	35,3	43,5	59,5	49,6	48,8	59,8	52,8
37,5	56,8	37,2	38,5	68,4	52,4	60,6	53,2	57,7	46,4
63	28,4	53,1	48,2	55,7	59,5	49	59,9	36,2	68,7
36,2	57,5	46,7	62,3	44,7	60,5	56,6	59,1	49,4	60,1
63	51,6	51,8	38,8	41,1	49,9	48,1	59,4	35,8	56,4

8.

51	59,7	48,2	47,9	44	42	56,5	52,8	55,7	52,9
51,8	30,5	40,2	50,1	40,4	48,2	48,9	45,5	39,9	54,1
55,5	51,8	42	50,8	53,2	60,5	52,8	47,5	52,3	56,4
54,4	42	53,2	47,4	49,1	51,5	44	49,7	49	54,9
54,5	50,2	46,3	57,4	47,6	62,5	39,9	61	66,7	49,5

9.

54,4	58,1	58,8	65,7	58	58,4	65,1	57,6	71	60,3
61,2	60,7	62,9	70,3	60,6	72,2	66,6	52,2	72,7	61,4
61,8	72,4	53,1	71,8	63,3	56,1	60	58,8	58,9	53,8
69,5	59,6	56,8	59,3	65,2	61,8	64,2	66,2	65	64,6
69,9	54,4	70,4	61,6	54,4	57,5	58	57,5	62,7	59,2

10.

64,9	69	62,6	58,8	46,8	61,8	46,6	52,8	56,7	63,4
54,7	55,8	69,6	56,7	59,7	63,5	51,4	61,9	73,9	71,5
69,6	62,6	55,3	64,1	68,6	60,8	59,2	53,8	55,7	65,7
57,3	60,1	60	70,7	50,4	63,9	48	49,9	66,8	58,2
50,1	68,2	62,8	58,9	54,5	56,1	68,1	68,3	76,9	72,3

Контрольні питання

1. Яка величина називається випадковою?

2. Яка випадкова величина називається дискретною?

3. Яка випадкова величина називається неперервною?

4. Що таке закон розподілу випадкової величини?

5. Які форми має закон розподілу?

6. Які числові характеристики розподілу є основними?

7. Які ймовірнісні і числові характеристики має біноміальний розподіл?

8. Які ймовірнісні і числові характеристики має рівномірний розподіл?

9. Які ймовірнісні і числові характеристики має нормальний розподіл?

10. Як визначається оцінки параметрів нормального розподілу?

Література:

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983 – 416 с.

2. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. – М. ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с.

3. Мао Венбо. Современная криптография: теория и практика. – М.: Вильямс, 2005. – 768 с.

Порядок виконання роботи

1. Вивчити короткі теоретичні відомості з теми заняття, користуючись конспектом лекції і рекомендованою літературою.

2. Виконати практичні завдання за своїм варіантом.

3. Скласти звіт, приєднавши отримані результати.

Вимоги до звіту

У звіті мають бути приведені:

1. Короткі теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язання свого варіанту з необхідними поясненнями.

3. Відповіді на контрольні питання.