- •1. Випадкові величини і розподіли
- •2. Основні числові характеристики розподілу
- •3. Біноміальний, рівномірний і нормальний розподіли
- •3.1 Біноміальний розподіл ймовірностей
- •3.2 Рівномірний дискретний розподіл
- •3.3 Рівномірний неперервний розподіл
- •3.4 Нормальний розподіл ймовірностей
- •3.5 Нормальне наближення
- •3.6 Розподіли, пов’язані з нормальним
- •1) Розподіл 2 (хі-квадрат)
- •2) Розподіл Стьюдента ( -розподіл)
- •3.7 Оцінки параметрів нормального розподілу
- •Зміст практичного заняття
3.2 Рівномірний дискретний розподіл
Дискретна випадкова величина називається рівномірно розподіленою, якщо вона набуває значень з ймовірностями , .
Закон розподілу:
|
1 |
2 |
3 |
... |
|
|
|
|
|
... |
|
Функція розподілу:
Числові характеристики:
, .
3.3 Рівномірний неперервний розподіл
Неперервна випадкова величина називається рівномірно розподіленою на відрізку , якщо її щільність ймовірності є сталою на і дорівнює 0 поза ним:
Графік функції має вид:
Функція розподілу:
Числові характеристики:
, , .
3.4 Нормальний розподіл ймовірностей
Неперервна випадкова величина називається розподіленою за нормальним законом (законом Гаусса) з параметрами і , де , , якщо її щільність ймовірності має вигляд:
,
Позначається нормальний розподіл .
Якщо випадкова величина розподілена за нормальним законом з параметрами 0 і 1, то вона називається нормованою або стандартною нормальною випадковою величиною. Щільність стандартного нормального розподілу є функцією Гаусса:
.
Зауваження. Для значень функції Гаусса існують детальні таблиці.
Значення функції Гаусса можна обчислити
а) в Excel за формулою =НОРМРАСП(х; 0;1;ЛОЖЬ).
а) в Mathcad за формулою dnorm(x,0,1).
Функція розподілу:
.
Функція розподілу нормальної випадкової величини зв'язана з функцією Лапласа наступним співвідношенням:
.
Зауваження. Для значень функції розподілу нормальної випадкової величини існують детальні таблиці.
Значення функції цієї функції можна обчислити
а) в Excel за формулою =НОРМРАСП(х; 0;1;ИСТИНА)–0,5 або за формулою =НОРМСТРАСП(х)–0,5.
а) в Mathcad за формулою pnorm(x,0,1)–0,5.
Ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуває значень з деякого проміжку
.
Числові характеристики нормального розподілу збігаються з його параметрами:
, , .
3.5 Нормальне наближення
Локальна теорема Муавра-Лапласа
Дана теорема використовується для наближеного обчислення ймовірностей окремих значень биноміального розподілу. Вона стверджує, що рівномірно по всім значенням має місце
,
де — щільність стандартного нормального розподілу, . (функція Гаусса.)
Інтегральна теорема Муавра-Лапласа
На практиці необхідність оцінки ймовірності окремих значень, яку дає локальна теорема Муавра-Лапласа, виникає нечасто. Набагато більш важливо оцінювати ймовірність подій, що включають в себе множину значень. Для цього використовується інтегральна теорема, яку можна сформулювати в наступному виді: При , і
де — функція розподілу стандартного нормального закону (функція Лапласа).
3.6 Розподіли, пов’язані з нормальним
1) Розподіл 2 (хі-квадрат)
Якщо кожна з незалежних випадкових величин , , характеризується стандартним нормальним законом розподілу ймовірностей , то кажуть, що випадкова величина має розподіл із ступенями свободи із щільністю ймовірностей
де – гамма-функція Ейлера.
( , , , , і взагалі, , – може бути нецілим числом: )
Функція розподілу:
Розподіл використовують при оцінюванні дисперсії (за допомогою довірчого інтервалу), при перевірці гіпотез узгодження, однорідності, незалежності, передусім для якісних змінних, що набувають скінченне число значень, і в багатьох інших задачах статистичного аналізу даних.