- •Раздел 1. Введение.
- •Раздел 2. Финансовая арифметика.
- •Переменные ставки простых процентов
- •Сложные проценты
- •Сравнительный анализ простых и сложных процентов
- •Раздел 3. Номинальные ставки
- •Переменные ставки сложных процентов.
- •Финансовая рента
- •Сложная или -рента
- •Анализ инвестиций
- •Оптимальное множество парето
- •Выбор наилучшей финансовой операции в условиях полной неопределённости
- •Выбор наилучшей финансовой операции в условиях частичной определённости
- •Диверсификация рисков
Финансовая рента
Финансовая рента (аннуитет) – это поток платежей такой, что равные выплаты производятся через равные промежутки времени. Ренты бывают безусловные и условные. Рента называется безусловной, если известен общий срок ренты (выплата стипендии в течение срока обучения). Рента называется условной, если общий срок ренты заранее неизвестные или зависит от выполнения некоторого условия (например, страховые ли пенсионные выплаты). Условные ренты обычно рассматриваются в актуарной математике. Различают также ренты пренумерандо и постнумерандо. Рента называется пренумерандо, если периодические выплаты производятся в начале каждого периода, и постнумерандо – если в конце каждого периода. Рента называется вечной, если её общий срок неограниченно большой.
Введём обозначения:
– общий срок ренты
– количество периодов ренты
– длительность одного периода
– член ренты или периодическая выплата
Основными расчётными (денежными) характеристиками ренты являются:
– современная стоимость ренты пренумерандо
– наращенная стоимость ренты пренумерандо
– современная стоимость ренты постнумерандо
– наращенная стоимость ренты постнумерандо
Графическое изображение ренты пренумерандо и постнумерандо:
Будем считать сначала, что рента простая, т. е. начисление или учёт процентов, а также выплаты производятся один раз в году. Будем считать далее, что на рынке действуют следующе эквивалентные между собой ставки:
Вычислим величину . Используя формулу суммы геометрической прогрессии а также равенство , получаем:
Далее вычислим величину , зная, что :
Аналогично находим величины и относительно ренты постнумерандо. Окончательно получаем следующие расчётные формулы для простых рент пренумерандо и постнумерандо:
Любая сумма постнумерандо конечно меньше, чем пренумерандо. Чем дальше выплаты – тем дешевле стоят выплачиваемые деньги (дело не в инфляции, это просто свойство денег).
Вспомним кое-какие уравнения:
Финансовая рента часто используется в задачах погашения кредита.
Пример.
Кредит в размере 300 000 рублей выплачивается ежегодно по годовой учётной ставке 20% в течение 3-х лет. Найти величину ежегодных выплат.
Решение:
Будем считать, что обслуживание кредита осуществляется по схеме постнумерандо.
Обозначения:
Найти:
Первоначальный кредит делим на коэффициент дисконтирования. Это формула (3.3).
Это означает, что современная или наращенная стоимость ренты пренумерандо больше соответствующей стоимости ренты постнумерандо. Безразмерные величины в формула (3.1) – 3.4( - это коэффициенты ренты.
Коэффициент дисконтирования ренты пренумерандо:
Коэффициент наращения ренты пренумерандо:
Коэффициент дисконтирования ренты постнумерандо:
Коэффициент наращения ренты постнумерандо:
Таким образом получаем, что: