Переменные ставки сложных процентов.
Весь период начисления разбит на временные интервалы. На каждом интервале действует своя ставка.
Вычислим коэффициент наращения:
...
В общем случае коэффициент наращения по переменным ставкам сложных процентов на всём промежутке начисления процентов равен:
Пример:
Договор
предусматривает начисление сложных
процентов по следующей схеме:
,
года и
,
года. Найти коэффициент наращения за
весь период начисления – 5 лет, т. е.
– ?
.
Построим график:
Рассмотрим
случай, когда сила процента является
переменной и представлена функцией:
.
В теории финансовой математики рассматривают функции только следующих типов:
кусочно-постоянные
линейные
кусочно-линейные
квадратичные
Рассмотрим первый случай.
Пусть задан следующим образом:
Найдём коэффициент наращения на всём периоде.
Рассмотрим
второй случай:
– линейная функция.
Пусть задан следующим образом:
Вычислить
коэффициент наращения за 4 года:
– ?
Так как коэффициент приращения непостоянен, нужно вывести для него формулу.
Для решения этой задачи выведем формулу для коэффициентов наращения и дисконтирования по переменной силе процента. Пусть – это произвольная кривая.
Таким образом, коэффициент наращения по переменной силе процента на периоде равен:
Коэффициент дисконтирования по переменной силе процента на периоде равен:
Возвращаясь к примеру, находим наш коэффициент наращения:
В случае кусочно-линейной функции – ломаной – нужно взять интеграл на каждом линейном кусочке и перемножить их.
В субботу 11-го февраля – контрольная работа.
Пример:
некто купил магазин за 10 миллионов, а через пять лет – продал за 20 миллионов. Найти доходность этой финансовой операции.
Доходность – это не разница между суммой покупки и суммой продажи. Как и все остальные величины, доходность – величина относительная и чаще всего выражается в ставках. Найдём доходность через годовую процентную ставку. А для этого нужно записать уравнение эквивалентности.
Ответ: доходность данной операции равна 0,148.
11.02.2012 Практика |
Задача 1:
По условиям контракта должник уплачивает 36 тысяч рублей через 100 дней. Кредит предоставлен под годовую процентную ставку 14%. Определить величину кредита и сумму дисконта, если для дисконтирования погашаемого долга используется математический учёт простыми процентами.
Дано:
т. р.
дней
года
Найти:
,
Найдём начальную сумму:
р.
Дисконт:
р.
Задача 2:
Определить срок долга, который необходим для того чтобы первоначальный долг в 20 000 тысяч рублей вырос до величины 30 000 рублей при условии, что на сумму долга начисляются простые проценты при годовой учётной ставке 11%.
Дано:
Найти:
Запишем
уравнение эквивалентности через учётную
ставку –
– и выразим из него
:
года
дней
Задача 3:
Определить величину дисконта при продаже финансового инструмента на сумму 5 000 долларов, если до срока погашения осталось 2,5 года. Банк, покупающий этот инструмент, применяет сложные проценты по годовой учётной ставке 9 процентов.
Найти:
р
Задача 4:
Определить силу процента за 4 года, если начальная сумма составляла 100 000 рублей, а конечная – 160 000 рублей.
Найти:
Задача 5:
Инвестиционная компания купила склад за 6 млн. рублей, а спустя 5 лет – продала за 10 млн. лет. Определить доходность финансовой операции в виде силы процента.
Найти:
Задача 6:
Два года назад фирма купила машину за 6000. Современная оценка этой машины составила 4500 долларов. Предполагая, что стоимость машины амортизируется по экспоненте, определить стоимость машины через 3 года.
Найти:
Решение: раз стоимость машины амортизируется по экспоненте, значит, её стоимость растёт по сложным и непрерывным процентам. Будем использовать процентную ставку. Составим уравнение эквивалентности:
Это так называемая ставка амортизации
Найдём стоимость через 3 года:
Стоимость машины уменьшается экспоненциально:
Задача 7:
Две фирмы имеют годовые обороты соответственно в 1 млн. рублей и 2 млн. рублей. Оборот первой фирмы ежемесячно растёт на 2%, а оборот второй – уменьшается на 1%. Через какой срок обороты фирм сравняются?
Найти:
Решение:
месяцев.
13.02.2012 Лекция |