3. Финансовая рента
Финансовая рента (аннуитет) – это поток платежей такой, что равные выплаты производятся через равные промежутки времени. Ренты бывают безусловные и условные. Рента называется безусловной, если известен общий срок ренты. Рента называется условной, если общий срок ренты заранее неизвестен и зависит от выполнения некоторого условия (например, страховые и пенсионные выплаты). Условные ренты обычно рассматриваются в актуарной математике. Различают также ренты пренумерандо и постнумерандо. Рента называется пренумерандо, если периодические выплаты производятся в начале каждого периода, постумерандо – если в конце каждого периода. Рента называется вечной, если ее общий срок неограниченно большой.
Введем обозначения:
Т – общий срок ренты
n – количество периодов ренты
τ – длительность одного периода
R – член ренты или периодическая выплата
Основными расчетными характеристиками ренты являются:
S0 (0) – современная стоимость ренты пренумерандо
S0 (n) – наращенная стоимость ренты пренумерандо
S1 (0) – современная стоимость ренты постнумерандо
S1 (n) – наращенная стоимость ренты постнумерандо
Ниже дано графическое изображение ренты пренумерандо и постнумерандо:
Рис. 1
Будем считать сначала, что рента простая, т.е. начисление или учет процентов, а также выплаты производятся один раз в году. Будем считать далее, что на рынке действуют следующие эквивалентные между собой ставки:
i ~ δ ~ d.
Вычислим величину S0 (0). Используя формулу суммы геометрической прогрессии, а также равенство 1-v=d, получаем
S0 (0) = R + Rv + Rv2 + … + Rvn–1 = R (1 + v + v2 + … + vn–1) =
Далее вычислим величину S0 (n):
S0 (n) = Rkn + Rkn–1 + Rkn–2 + … + Rk = Rk (kn–1 + kn–2 + … + 1) =
Аналогично находим величины S1 (0) и S1 (n) относительно ренты постнумерандо. Окончательно получаем следующие расчетные формулы для простых рент пренумерандо и постнумерандо:
S0 (0) = (3.1)
S0 (n) = (3.2)
S1 (0) = (3.3)
S1 (n) = (3.4)
Финансовая рента часто используется в задачах погашения кредита.
Пример. Кредит в размере 300000 р. выплачивается ежегодно по годовой учетной ставке 20 % в течении 3-х лет. Найти величину ежегодных выплат.
Решение. Будем считать, что обслуживание кредита осуществляется по схеме простой ренты постнумерандо. Условие задачи: S1 (0) = 300000, d = 20 %, n = 3. R = ?
Для нахождения члена ренты R воспользуемся формулой (3.3)
R =
Ответ: R = 153688,53 р.
Нетрудно заметить, что справедливы неравенства:
S0 (0) > S1 (0)
S0 (n) > S1 (n)
Это означает, что современная или наращенная стоимость ренты пренумерандо больше соответствующей стоимости ренты постнумерандо. Безразмерные величины в формулах (3.1) – (3.4) – коэффициенты ренты.
Коэффициент дисконтирования ренты пренумерандо:
= (3.5)
Коэффициент наращения ренты пренумерандо:
(3.6)
Коэффициент дисконтирования ренты постнумерандо:
= (3.7)
Коэффициент наращения ренты постнумерандо:
= (3.8)
Формулы (3.5) – (3.8) подставим в формулы (3.1) – (3.4). Получаем выражения наращенных и дисконтированных стоимостей через коэффициенты наращения и дисконтирования рент пренумерандо и постнумерандо:
S0 (0) = R (3.9)
S0 (n) = R (3.10)
S1 (0) = R (3.11)
S1 (n) = R (3.12)