Сложная или (m, p)-рента

Простая рента предполагала одно начисление или один учет на одном периоде ренты и одну выплату на этом периоде. Пусть теперь на одном периоде производится m начислений или учетов процентов и p выплат. Найдем коэффициенты сложной ренты и, соответственно, современную и наращенную денежные стоимости.

Найдем коэффициенты дисконтирования и наращения сложной ренты пренумерандо и постнумерандо. Напомним, что

v=1–d

– годовой коэффициент дисконтирования по годовой эффективной учетной ставке,

k=1+i

- годовой коэффициент наращения по годовой эффективной процентной ставке,

v_m =

- годовой коэффициент дисконтирования по годовой номинальной учетной ставке с m учетами в году,

k_m =

- годовой коэффициент наращения по годовой номинальной процентной ставке,

v_m,p =

- годовой коэффициент дисконтирования по годовой номинальной учетной ставке с m учетами на части года,

k_m,p =

- годовой коэффициент наращения по годовой номинальной процентной ставке с m начислениями на части года.

На каждом частичном периоде выплата равна . Однако, величину в этой выплате обычно учитывают в коэффициентах ренты. Тогда

= (1 + + + … + ) = = ∙

Очевидно, что коэффициент дисконтирования сложной ренты постнумерандо меньше коэффициента сложной ренты пренумерандо. Точнее, он равен

v_m,p

или

= ∙

По аналогии коэффициент наращения сложной ренты пренумерандо равен:

= ( + + … + ) =

= ∙ .

Коэффициент наращения сложной ренты постнумерандо равен:

или

= ∙

Итак, основные расчетные формулы для коэффициентов дисконтирования и наращения сложной ренты пренумерандо и постнумерндо имеют следующий вид:

= ∙ (3.13)

= ∙ (3.14)

= ∙ (3.15)

∙ = (3.16)

С помощью формул (3.13) – (3.16) легко записать основные расчетные формулы для современных и наращенных стоимостей сложной ренты-пренумерандо и постнумерндо:

S₀ (0) = R (3.17)

S₀ (n) = R (3.18)

S₁ (0) =R (3.19)

S₁ (n) = R (3.20)

Рассмотрим несколько типичных случаев сложной ренты:

1. m = 1, p = 1 – простая рента, (d⁽¹⁾ = d)

= =

(см. формулу (3.5))

Аналогично, коэффициенты (3.14), (3.15), (3.16) в этом случае равны коэффициентам (3.6), (3.7), (3.8) простой ренты.

2. m < ∞, p = 1

Формулы (3.13) – (3.16) примут следующий вид:

= (3.21)

= (3.22)

= (3.23)

= (3.24)

3. m = 1, p < ∞ (i⁽¹⁾ = i; d⁽¹⁾ = d)

= (3.25)

= (3.26)

= (3.27)

= (3.28)

4. m = p

= = (3.29)

= (3.30)

= (3.31)

= (3.32)

Итак, в случае m = p сложная рента с основным временным промежутком в один год сводится к простой ренте с основным временным промежутком, равным 1/m части года и соответствующей ставкой.

5. m = ∞, p < ∞

Рассмотрим коэффициент

=

по формуле (3.13) и перейдем к пределу при m →∞. С помощью известного из высшей математики второго замечательного предела

легко получаем

Таким образом, коэффициент дисконтирования сложной ренты пренумерандо при непрерывном учете процентов по силе процента δ за n лет и p выплатах в году равен

= (3.33)

По аналогии получаем:

= (3.34)

= (3.35)

= (3.36)